Ensino Médio ⇒ Função Exponencial e Populações de Bactérias

[olgario]

A população de uma bactéria num instante [tex3]t[/tex3] é [tex3]P(t) = C.e^{kt}[/tex3], onde [tex3]t[/tex3] é dado em horas. Determine a população inicial, sabendo-se que a população depois de [tex3]10[/tex3] horas é [tex3]10^5[/tex3] e depois de [tex3]30[/tex3] horas é [tex3]10^8[/tex3]

Atenciosamente
olgario

[Chris]

Certeza que os dados estão certos? A população vai dar irracional.

Bom, se ele quer a população inicial, ele quer a população para [tex3]t = 0.[/tex3] Portanto:

• [tex3]P(0) = C.e^{k.0} = C.e^0 = C.1 = C.[/tex3]

Temos do enunciado que [tex3]P(10) = 10^5[/tex3] e [tex3]P(30) = 10^8.[/tex3]

• [tex3]P(10) = C.e^{k.10} = 10^5 \Rightarrow C.e^{10k} = 10^5 \Rightarrow e^{10k} = \frac{10^5}{C}[/tex3]

• [tex3]P(30) = C.e^{k.30} \Rightarrow 10^8 = C.e^{30k} \Rightarrow 10^8 = C.(e^{10k})^3 \Rightarrow[/tex3]
  
  [tex3]10^8 = C.(\frac{10^5}{C})^3 \Rightarrow 10^8 = C.\frac{10^{15}}{C^3} \Rightarrow 10^8 = \frac{10^{15}}{C^2}\Rightarrow[/tex3]
  
  [tex3]C^2 = \frac{10^{15}}{10^8} = 10^7[/tex3]

Sendo assim, a população inicial teria que ser [tex3]\sqrt{10^7}[/tex3].

[olgario]

Oi Chris ! A resposta é essa aí. [tex3]\sqrt{10^7} = 3162.27766017[/tex3]

O manual dá como solução apenas a parte inteira: [tex3]3162.[/tex3]

Obrigado.