Estude! Com Prof. Caju

[tex3]\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}[/tex3]

Resposta : 3/4

*Detalhe: Não pode se usar l'hospital.

Abraços!

Agradeço desde já.

Att. Qbit

Alguém ????

[tex3]\sqrt[3]{x} - 1 = (\sqrt[12]{x} - 1)(\sqrt[4]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1)[/tex3]
[tex3]\sqrt[4]{x} - 1 = (\sqrt[12]{x} - 1)(\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1)[/tex3]

Então:

[tex3]\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[4]{x} - 1} = \frac{\cancel{\sqrt[12]{x} - 1}}{\cancel{\sqrt[12]{x} - 1}} \cdot \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1} = \boxed{\frac{4}{3}}[/tex3]

Sem L'Hospital fica horrível. Essa fatoração é muito específica.

Obrigadão cara!

Mas eu não entendi da onde tu tirou essas raizes, tu teria como me explicar? ou passar algum link para me dar uma olhada?
Abraços
Att. Qbit

Procurei uma fatoração que usasse o MMC dos índices de cada raiz. Como toda fatoração, sai da procura pura, tem pouca teoria. Ninguém usa isso, é coisa de professor que gosta de encher o saco de aluno, já que L'Hospital resolve limites desse tipo com uma linha de conta.

Se estiver interessado, procure materiais sobre fatoração que preparam para Olimpíadas.