Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - Vetores (13) Tópico resolvido

[Fabim]

13. Seja [tex3]\vec{u}[/tex3] 6= [tex3]\vec{0}[/tex3]. Prove que se [tex3]\vec{u}[/tex3].[tex3]\vec{v}[/tex3] = 0 e [tex3]\vec{u}[/tex3] ∧[tex3]\vec{v} = \vec{0}[/tex3] então [tex3]\vec{v} = \vec{0}[/tex3]. Interprete esse resultado geometricamente.

[Cardoso1979]

Observe

Suponho que seja : [tex3]\vec{u}[/tex3] ≠ 0..

Uma solução:

Como [tex3]\vec{u}[/tex3] ≠ 0 , sabemos que se um produto escalar é nulo :

θ = 0° → || [tex3]\vec{v}[/tex3] || = 0.

Já o produto vetorial é nulo se

θ = 90° → || [tex3]\vec{v}[/tex3] || = 0.

Como as condições θ = 0° e θ = 90° não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo devemos ter

|| [tex3]\vec{v}[/tex3] || = 0.

Que é equivalente a [tex3]\vec{v} = \vec{0}[/tex3]. C.q.p.



Interpretação geométrica : Dois vetores não nulos não podem ser, simultaneamente, paralelos e perpendiculares. Isso ocorre pois o produto escalar se anula para vetores perpendiculares e o vetorial se anula para vetores paralelos.


Excelente estudo!