(Bahiana) Geometria Espacial
Enviado: 25 Abr 2014, 18:53
Olá, amigos.
Os antioxidantes são um dos grandes chamarizes das indústrias de cosméticos e suplementos alimentares, que alegam que essas substâncias têm a propriedade de combater os chamados radicais livres, que provocariam o envelhecimento. Considere a embalagem de um determinado cosmético projetada com a forma de um cone reto representado na figura, de altura [tex3]h[/tex3] cm e cuja base é uma elipse com eixos maior e menor medindo, em cm, [tex3]2a[/tex3] e [tex3]2b[/tex3], respectivamente, e área dada por [tex3]A = ab\pi \,\, cm^2[/tex3]. Sendo [tex3]VM = VN = 4\sqrt{10} \,\,cm[/tex3] e [tex3]\theta = 30^{\circ}[/tex3] e supondo que a embalagem tenha capacidade para a [tex3]6\sqrt{37} \pi[/tex3] ml, determine os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].
Minha tentativa ( não possuo gabarito ):
No triângulo retângulo formado por [tex3]VM[/tex3], a metade da base e a altura do cone:
[tex3]\sin \frac{\theta}{2} = \frac{a}{VM} \therefore 4\sqrt{10} \cdot \sin 15^{\circ} = a \rightarrow a = 2 \cdot (\sqrt{15} - \sqrt5)[/tex3]
Aplicando Pitágoras para encontrar a altura:
[tex3](VM)^2 = h^2 + a^2 \therefore 160 - 4(20-10\sqrt3)=h^2 \rightarrow h = 2\sqrt{20+10\sqrt3}[/tex3]
Aplicando a fórmula do volume e encontrando [tex3]b[/tex3]:
[tex3]6\sqrt{37}\pi = \frac{2 \cdot (\sqrt{15}-\sqrt5) \cdot b \cdot 2\sqrt{20+10\sqrt3} \cdot \pi }{3} \therefore b = \frac{9\sqrt{37}}{2 \cdot (\sqrt{300+150\sqrt3} - \sqrt{100+50\sqrt3})} \\\\ \Leftrightarrow b = \frac{9\sqrt{37}}{20}[/tex3]
Alguém poderia confirmar se fiz corretamente?
Fiquei em dúvida também pois ao fazer da seguinte maneira:
[tex3]\frac{VM \cdot VN \cdot \sin \theta}{2} = \frac{MN \cdot h}{2} \therefore (4\sqrt{10})^2 \cdot \frac{1}{2} = 2a \cdot h \therefore h = \frac{40}{a}[/tex3]
Substituindo encontro 4 valores diferentes para [tex3]a[/tex3].
Enfim... agradeço a atenção.
Abraços,
Pedro
Os antioxidantes são um dos grandes chamarizes das indústrias de cosméticos e suplementos alimentares, que alegam que essas substâncias têm a propriedade de combater os chamados radicais livres, que provocariam o envelhecimento. Considere a embalagem de um determinado cosmético projetada com a forma de um cone reto representado na figura, de altura [tex3]h[/tex3] cm e cuja base é uma elipse com eixos maior e menor medindo, em cm, [tex3]2a[/tex3] e [tex3]2b[/tex3], respectivamente, e área dada por [tex3]A = ab\pi \,\, cm^2[/tex3]. Sendo [tex3]VM = VN = 4\sqrt{10} \,\,cm[/tex3] e [tex3]\theta = 30^{\circ}[/tex3] e supondo que a embalagem tenha capacidade para a [tex3]6\sqrt{37} \pi[/tex3] ml, determine os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].
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No triângulo retângulo formado por [tex3]VM[/tex3], a metade da base e a altura do cone:
[tex3]\sin \frac{\theta}{2} = \frac{a}{VM} \therefore 4\sqrt{10} \cdot \sin 15^{\circ} = a \rightarrow a = 2 \cdot (\sqrt{15} - \sqrt5)[/tex3]
Aplicando Pitágoras para encontrar a altura:
[tex3](VM)^2 = h^2 + a^2 \therefore 160 - 4(20-10\sqrt3)=h^2 \rightarrow h = 2\sqrt{20+10\sqrt3}[/tex3]
Aplicando a fórmula do volume e encontrando [tex3]b[/tex3]:
[tex3]6\sqrt{37}\pi = \frac{2 \cdot (\sqrt{15}-\sqrt5) \cdot b \cdot 2\sqrt{20+10\sqrt3} \cdot \pi }{3} \therefore b = \frac{9\sqrt{37}}{2 \cdot (\sqrt{300+150\sqrt3} - \sqrt{100+50\sqrt3})} \\\\ \Leftrightarrow b = \frac{9\sqrt{37}}{20}[/tex3]
Alguém poderia confirmar se fiz corretamente?
Fiquei em dúvida também pois ao fazer da seguinte maneira:
[tex3]\frac{VM \cdot VN \cdot \sin \theta}{2} = \frac{MN \cdot h}{2} \therefore (4\sqrt{10})^2 \cdot \frac{1}{2} = 2a \cdot h \therefore h = \frac{40}{a}[/tex3]
Substituindo encontro 4 valores diferentes para [tex3]a[/tex3].
Enfim... agradeço a atenção.
Abraços,
Pedro