Pré-Vestibular ⇒ (UFG - 2001) Equação Irracional Tópico resolvido

[Karl Weierstrass]

Considere a equação [tex3]x\,+\,\sqrt{x^2\,+\,x\,+\,m}\,=\,m,[/tex3] onde [tex3]m[/tex3] é um número real.

a) Para [tex3]m=-1[/tex3], determine a raiz real da equação.

b) Determine o conjunto dos valores de [tex3]m[/tex3], para os quais a equação possui uma raiz real.





[tex3]\,[/tex3]

[Bruno Fraga]

Para o item (b):
Reescrevemos a equação:
[tex3]\sqrt{x^{2}+x+m} = m - x[/tex3]
Nesta equação, devemos ter: [tex3]m - x\geq0 (I)[/tex3]
Elevando então ao quadrado:
[tex3]x^{2}+x+m = x^{2}-2mx+m^{2}[/tex3]
[tex3]x(1+2m)=m^{2}-m[/tex3]
[tex3]x=\frac{m^{2}-m}{1+2m}[/tex3]
Tal solução só é válida quando satisfaz (I):
[tex3]m - \frac{m^{2}-m}{1+2m}\geq0[/tex3]
[tex3]\frac{m^{2}+2m}{1+2m}\geq0[/tex3]
Cuja solução nos dá:
[tex3]-2\leq{m}<\frac{-1}{2}[/tex3] ou [tex3]m\geq0[/tex3]

Bruno

[Natan]

Essa eu vou tentar Karl:

a)

Se [tex3]m=-1[/tex3] temos

[tex3]x+\sqrt{x^2+x-1}=-1[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^2+x-1}=(-1-m)[/tex3] Elevando ambos os lados ao quadrado

[tex3]x^2+x-1=1+2x+x^2[/tex3] Daí

[tex3]x=-2[/tex3]

b)

De maneira análoga ao processo anterior

[tex3]x+\sqrt{x^2+x-1}=m[/tex3]

[tex3]+\sqrt{x^2+x-1}=m-x[/tex3]

[tex3]x^2+x+m=m^2-2mx+x^2[/tex3] Agrupando os termos

[tex3]m^2+(-1-2m)x-m[/tex3] Para que a raíz seja real devemos ter [tex3]\Delta\geq0[/tex3], assim:

[tex3](-1-2m)^2-4\cdot 4[/tex3] Desenvolvendo chegaremos em

[tex3]4m^2+8m+1\geq0[/tex3] Como esse é o valor de [tex3]\Delta[/tex3] devemos verificar para quais valores de [tex3]m[/tex3] a função é maior ou igual a zero. Fazendo essa verificação chegaremos a

[tex3]\left]-\infty, \frac{-2-\sqrt3}{2}\right] \bigcup \left[\frac{-2+\sqrt3}{2}, \infty\right[[/tex3]

Acho que é isso, vlw!!!

[Karl Weierstrass]

Natan, o item (a) está correto. O Bruno acertou o item (b).

Abraço.