Ensino Superior ⇒ Soluções reais de equação Tópico resolvido

[Fabim]

16) Seja [tex3]f(x) = x^7 +\pi x^3 - 8x^2 + ex +1[/tex3]. Quantas soluções reais distintas tem a equação [tex3]f''(x)=0[/tex3]? Mostre que a equação [tex3]f(0)=0[/tex3] tem exatamente três soluções reais distintas.

Resposta

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Parte 1:f''(0) tem uma única raiz real
Parte 2: Tem que demonstrar

[Cardoso1979]

Observe

16) Seja [tex3]f(x) = x^7 +\pi x^3 - 8x^2 + ex +1[/tex3]. Quantas soluções reais distintas tem a equação [tex3]f''(x)=0[/tex3]?

Resposta

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Parte 1:f''(0) tem uma única raiz real

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Solução:

Vamos encontrar f''( x ) derivando a função duas vezes, temos

f'( x ) = 7x⁶ + 3πx² - 16x + e

f''( x ) = 42x⁵ + 6πx - 16.

Como a derivada segunda tem grau 5, nada podemos inferir sobre o número de suas raízes reais por enquanto. Exemplo , poderiam ser cinco(5) ou só uma raiz. Veja o que faremos.

f'''( x ) = 210x⁴ + 6π.

Perceba, esta função f'''( x ) será sempre positiva, já que 210 e 6π são maiores que 0 e a potência x⁴ sempre será positiva também! Podemos concluir então que f''( x ) será, portanto, estritamente crescente. Ora, se temos que

[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}[/tex3] f''( x ) = + ∞

e

[tex3]\lim_{x \rightarrow - \infty}[/tex3] f''( x ) = - ∞.

Concluímos que f''( x ) vai vir de - ∞, crescerá até cortar o eixo x num ponto qualquer e daí continuará crescendo em direção a + ∞. Assim , só cruzará o eixo x uma vez, tendo ela só uma raiz!

Portanto, f''(x) = 0 tem uma única raiz real.


Excelente estudo!