Ensino Superior ⇒ Taxa de Crescimento de uma População de Peixes Tópico resolvido

[olgario]

Colocaram-se num lago 600 peixes e a sua população cresceu de acordo com a lei:

[tex3]p(t) = \frac{12000}{1+19e^{{-\frac{t}{5}}}}[/tex3]

(t em meses)

1.1) Calcule a população limite quando [tex3]t\rightarrow + \infty[/tex3].

1.2) qual é a população ao fim de cinco meses ?

1.3) Determine a velocidade de crescimento no final do 1º mês e do 12º mês. Interprete os resultados.

Atenciosanente
olgario

[Thales Gheós]

quando [tex3]t\rightarrow\infty[/tex3]

[tex3]e^{-\frac{t}{5}}\lt1\rightarrow 0[/tex3] e [tex3]P(t)\rightarrow 12000[/tex3]

ao fim de 5 meses:

[tex3]P(5)=\frac{12000}{1+19e^{-1}}\rightarrow P(5)=1502[/tex3]

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o resto vai por aí... a população cresce assintoticamente a 12000.

[Karl Weierstrass]

Colocaram-se num lago [tex3]600[/tex3] peixes e a sua população cresceu de acordo com a lei:

[tex3]\hspace{70pt}p(t) \,= \,\frac{12000}{1+19e^{{-\frac{t}{5}}}}[/tex3]

([tex3]t[/tex3] em meses)

a) Calcule a população limite quando [tex3]t\rightarrow + \infty[/tex3].

b) qual é a população ao fim de cinco meses ?

c) Determine a velocidade de crescimento no final do 1º mês e do 12º mês. Interprete os resultados.

c)
[tex3]\hspace{70pt}p(t) \,=\, 12000\,\cdot\, (1\,+\,19\,\cdot\,e^{-0,2t})^{-1}[/tex3]

Derivada da Função Potência Composta

[tex3]\hspace{70pt}p'(t) \,=\, -12000\,\cdot\, (1\,+\,19\,\cdot\,e^{-0,2t})^{-2}\,\cdot\,(1\,+\,19\,\cdot\,e^{-0,2t})'[/tex3]

Derivada da Função Exponencial Composta

[tex3]\hspace{70pt}\begin{cases}f(u)=a^u\,;\, 1\,\,\neq\,a\,\gt\,0,\,u\,=\,g(x)\\
f'(u)\,=\,u'\,\cdot\,a^u\,\cdot\,\ell n\, a\,\end{cases}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}p'(t) \,=\, -12000\,\cdot\, (1\,+\,19\,\cdot\,e^{-0,2t})^{-2}\,\cdot\,(-0,2\,\cdot\,19\,\cdot\,e^{-0,2t})[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}p'(t) \,=\, \frac{45600\,\cdot\,e^{-0,2t}}{(1\,+\,19\,\cdot\,e^{-0,2t})^{-2}}[/tex3]

Para [tex3]t\,=\,1[/tex3], vem

[tex3]\hspace{70pt}p'(1) \,=\, \frac{45600\,\cdot\,e^{-0,2}}{(1\,+\,19\,\cdot\,e^{-0,2})^{-2}}\,\approx\,136,21.[/tex3]

Logo, ao fim do [tex3]1[/tex3] º mês, a velocidade de crescimento da população é de aproximadamente [tex3]136\, \text{peixes/mês}[/tex3].

Para [tex3]t\,=\,12[/tex3], obtemos

[tex3]\hspace{70pt}p'(12) \,=\, \frac{45600\,\cdot\,e^{-2,4}}{(1\,+\,19\,\cdot\,e^{-2,4})^{-2}}\,\approx\,557,65.[/tex3]

Portanto, ao fim do [tex3]12[/tex3] º mês, a velocidade de crescimento da população é de aproximadamente [tex3]558\, \text{peixes/mês}.[/tex3]