Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Área de Figuras Planas

[paulo testoniMOD]

Uma casa tem o formato de um triângulo de perímetro [tex3]42\text{m}[/tex3] e área [tex3]84\text{m}^2.[/tex3] O jardim consiste em [tex3]5\text{m}[/tex3] de terra em volta da casa. Calcule a área ocupada pelo jardim e a casa juntos.

Resposta:

---

[tex3](294 +25\pi) \text{m}^2[/tex3]

[Thales Gheós]

Jardim.png (24.91 KiB) Exibido 2056 vezes

A figura acima ilustra a situação. A área do jardim é dada pelas áreas dos retângulos e pela soma das áreas dos setores circulares dos vértices.

Vê-se que cada setor circular tem um ângulo do tipo [tex3]180^\circ -\alpha[/tex3] e a soma dos três é:

[tex3]S_{\text{setor}}=180^\circ-\alpha+180^\circ-\beta+180^\circ-\delta=3.180^\circ-(\alpha+\beta+\delta)[/tex3] e como a soma [tex3]\alpha+\beta+\delta[/tex3] é a soma dos ângulos internos do triângulo, temos que a soma dos setores circulares é [tex3]S_{\text{setores}}=360[/tex3] ou uma circunferência de raio [tex3]5[/tex3] metros cuja área é [tex3]25\pi[/tex3].

A soma das áreas dos retângulos é: [tex3]A_r = 5.42\Rightarrow A_r=210[/tex3]. A área total casa + jardim é então:

[tex3]A_t=210+84+25\pi[/tex3] ou [tex3]294+25\pi \text{m}^2[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola Thales.

Muito interessante a sua resolução.
Mas não sei de onde vc arrumou esse [tex3]5\cdot 42[/tex3]

Note que esse triângulo é eqüilátero, pois:

o perímetro do triângulo é: [tex3]a + b + c = 42[/tex3]

a altura é a mesma para os três lados, logo:

• [tex3]S = \frac{a\cdot h}{2} \Rightarrow 2S = a\cdot h\\
  S = \frac{b\cdot h}{2} \Rightarrow 2S = b\cdot h[/tex3]
  [tex3]S = \frac{c\cdot h}{2} \Rightarrow 2S = c\cdot h,[/tex3]

somando as três equações, fica:

• [tex3]2S + 2S + 2S = a\cdot h + b\cdot h + c\cdot h\\
  6S = h\cdot (a + b + c)\\
  6S = 42\cdot h\\
  42\cdot h = 3\cdot 84\\
  h = \frac{3\cdot 84}{42}[/tex3]
  [tex3]h = 12,[/tex3]

substuindo esse valor em qualquer uma das três equações, encontramos:

• [tex3]2S = a\cdot h\\
  12\cdot a = 3S\\
  a = \frac{3\cdot 84}{12}[/tex3]
  [tex3]a = 14,[/tex3]

como cada lado mede [tex3]14,[/tex3] então cada ângulo desse triângulo mede [tex3]60^\circ[/tex3] já que o triângulo é eqüilátero.

Como esse [tex3]14[/tex3] é um dos lados dos três retângulos e o outro lado é [tex3]5,[/tex3] então a área dos três retângulos é:

• [tex3]3\cdot 5\cdot 14 = 210[/tex3]

Fazendo o prolongamento de um dos vértices do triângulo vamos ter um ângulo igual a [tex3]60^\circ[/tex3] já que ângulos opostos pelos vértices são iguais.
Sabendo que a soma do ângulo externo de um triângulo é igual a [tex3]180^\circ,[/tex3] então:

• [tex3]180^\circ - 60^\circ = 120^\circ[/tex3]

Temos três setores circulares de [tex3]120^\circ,[/tex3] como como são [tex3]3[/tex3] vértices, digo três setores circulares. Temos:

• [tex3]3\cdot 120^\circ = 360^\circ.[/tex3]

A área de uma cicunferência de raio igual a [tex3]5\text{m}[/tex3] mede:

• [tex3]A = \pi\cdot r^2= 25\pi[/tex3]

O resto você já sabe.

[Thales Gheós]

Muito interessante a sua resolução.
Mas não sei de onde vc arrumou esse [tex3]5\cdot 42[/tex3]

[tex3]5[/tex3] é a largura do retângulo do canteiro que se extende por todo o perímetro, logo [tex3]5\cdot 42[/tex3]

Note que esse triângulo é eqüilátero, pois:

o perímetro do triângulo é:
[tex3]a + b + c = 42[/tex3]

Agora sou eu quem não sabe como você descobriu que o triângulo era equilátero...

[paulo testoniMOD]

Hola Thales.

Na realidade eu só resolvi essa questão depois do seu desenho.
Quanto a sua pergunta, aí está a resposta:

[tex3]a = 14,[/tex3] como cada lado mede [tex3]14,[/tex3] então cada ângulo desse triângulo mede [tex3]60^\circ[/tex3] já que o triângulo é eqüilátero.

[Thales Gheós]

Caro Paulo,

note que o triângulo não é necessáriamente equilátero. O equilátero é apenas um caso particular. O canteiro terá a mesma área para todos os triângulos de igual perímetro, já que o canteiro se estende com a mesma largura ao longo do comprimento do perímetro. A circunferência formada nos vértices também é a mesma para todos.

Na verdade, pelo enunciado, não há como concluir que se trata de um triângulo equilátero. Pode ser qualquer um.

Perímetro.png (86.87 KiB) Exibido 2047 vezes