IME / ITA ⇒ (PMERJ - CFO 2014 - Exatus) Volume Tópico resolvido

[rafaelplaurindo]

Uma pirâmide reta de altura medindo 10 cm possui base em formato de dodecágono regular inscrito em uma circunferência de raio medindo 10 cm. O volume desse prisma corresponde a, aproximadamente:
Dado: sen 15º = 0,26 e cos 15º = 0,96; sen 30º = 0,5 e cos 30º = 0,86.

a) 100 ml
b) 1 litro
c) 3 litros
d) 10 litros

Sei que o volume da pirâmide se dá pelo cálculo de um terço do produto da área da base pela altura. Mas como se calula a área do dodecágono (12 lados) em função do raio da circunferência circunscrita?

Bom, sei que o dodecágono é formado por 12 triângulos isósceles e equivalentes. Pois observei que toda figura regular de quantidade de arestas par, inscrita numa circunferência, forma, com todos seus vértices, ponto em comum com os pontos extremos da circunferência. Logo, o raio da circunferência circunscrita é igual aos lados dos triângulos que formam esse determinado polígono regular. No caso, o dodecágono.

Sendo regular o dodecágono, e, portanto, formado por triângulos equivalentes, podemos concluir, sabendo-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é dada por (3 -2) . 180 = 180º, e sabendo-se que a soma dos ângulos desses triângulos com vétices no centro (pelo lado ser o raio) da circunferência é 360º, o valor de ângulo desses triângulos mede 360/12 = 30º, logo as bases medem (180 - 30)/2 = 75º. (Não gostei desse valor)

Agora só calcular a área da base com essas informações, calculando a área de um desses triângulos e multiplicando por 12.

A altura de qualquer triângulo pode ser calculada em função de um de seus lados e o ângulo referente a esse lado. Ao traçarmos a altura to triângulo, formamos, com a base (referente a essa altura), um triângulo retângulo.

Agora é só usar os conceitos das relações trigonométricas no triângulo retângulo. http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2n ... C3.A2ngulo

[PedroCunha]

Olá.

Vou fazer apenas o desenho da base, pois é a parte que parece ter lhe causado dúvida.

dodec.png (26.5 KiB) Exibido 2206 vezes

Se tiver alguma dúvida na obtenção dos ângulos, me avise (basta lembrar da fórmula dos ângulos internos de um polígono e da soma dos ângulos internos de um triângulo).

Pela Lei dos Senos, sendo [tex3]R = 10, \sin 75^{\circ} = \cos 15^{\circ} = 0,96, \sin 30^{\circ} = 0,5[/tex3], temos:

[tex3]\frac{10}{0,96} = \frac{l}{0,5} \therefore l = 5,208 \,\, cm[/tex3]

Calculei o lado apenas para mostrar para você como é feito, pois não é necessário calculá-lo. Veja que a área do triângulo é dada por: [tex3]\frac{R \cdot R \cdot \sin 30^{\circ}}{2} \therefore \frac{R^2}{4}[/tex3]. Como temos 12 triângulos e o raio é 10 cm, a área da base será:

[tex3]12 \cdot \frac{100}{4} \therefore 300 \,\, cm[/tex3]

O volume da pirâmide é, então:

[tex3]V = \frac{300 \cdot 10}{3} \therefore V = 1000 \,\, cm^3 = 1 \text{ litro }[/tex3]

É isso.

Qualquer dúvida é só perguntar.

Att.,
Pedro

[rafaelplaurindo]

Rs. Sim sim. Foi como citei acima. Muito obrigado, Pedro.
Mas me fala uma parada. Onde tu conseguiu essa ferramenta top pra desenhar um dodecágono? Não vai me dizer que você desenhou isso na "mão"?!

[PedroCunha]

Usei o GeoGebra. Com um pouco de prática, faz-se de tudo (2D).

[rafaelplaurindo]

Ooopa. Que boooni. Então vai o link pra turma se deliciar aí.

http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/

[rafaelplaurindo]

Perdão Pedro. Mas de onde você tirou isso só para sanar por completo minha dúvida.

[tex3]\frac{R \cdot R \cdot \sin 30^{\circ}}{2} \therefore \frac{R^2}{4}[/tex3]

[PedroCunha]

Olá.

Área de um triângulo qualquer: [tex3]\frac{A \cdot B \cdot \sin \theta}{2}[/tex3], onde [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo formado entre os lados A e B.

[rafaelplaurindo]

Como você fez para inserir uma imagem entre dois textos em duas linhas?

Já vi, é só clicar no botão, depois de enviar a imagem "Inserir na linha"