IME / ITA ⇒ (PMERJ - CFO - 2014 - Exatus) Raízes complexas Tópico resolvido

[rafaelplaurindo]

Galerinha, eu não faço ideia do que se trata o conjunto dos números complexos. Nunca entendi. Olha essa questão.

Mariana pensou em uma equação formada pela soma da quarta potência de X com o cubo de X mais o dobro do quadrado de X, cujo resultado é 8 menos o quádruplo de X. O conjunto S formado pelas raízes complexas da equação pensada por Mariana é igual a:

a) S = {-i, i}
b) S = {-i, 2i}
c) S = {-2i, 2i}
d) S = {-2i, 3i}

[poti]

Olá rafael. Você precisa pelo menos entender o que é um número complexo pra resolver a questão. Um número complexo é qualquer número da forma [tex3]a + bi, \ i = \sqrt{-1}[/tex3] e [tex3]a,b \in \mathbb{R}[/tex3]. Perceba que quando [tex3]b = 0[/tex3], temos um número real, ou seja, o conjunto dos reais está contido no dos complexos. A utilidade de tal conjunto é a de operar com a unidade imaginária ([tex3]\sqrt{-1}[/tex3]), que no conjunto dos reais não está bem definido. Ele é construído de forma parecida com o que acontece com os vetores, já que um vetor [tex3]\vec{v}[/tex3] pode ser sempre decomposto, no plano, como [tex3]a \vec{i} + b \vec{j}[/tex3]. As operações são todas parecidas, mas o conjunto dos complexos te dá ferramentas para trabalhar com polinômios, geometria e até mesmo teoria dos números.

Perceba:
[tex3]1 + 4i \in \mathbb{C}[/tex3]
[tex3]\sqrt{-4} = \sqrt{4}\sqrt{-1} = 2i \in \mathbb{C}[/tex3]
[tex3]\sqrt{-5} = \sqrt{5}i \in \mathbb{C}[/tex3]

O que o exercício quer é saber o conjunto-solução da equação:

[tex3]x^4 + x^3 + 2x^2 = 8 - 4x[/tex3]
[tex3]x^4 + x^3 + 2x^2 + 4x - 8 = 0[/tex3]

Por inspeção, 1 e -2 são raízes. Você vai rebaixar, por Briot-Ruffini, essa equação para:

[tex3]x^2 + 4 = 0[/tex3]
[tex3]x = \pm \sqrt{-4} = \boxed{\pm 2i}[/tex3]

A rigor, como 1 e -2 são reais, eles também são valores complexos, o que fura a questão. Mas eu marcaria a letra c, considerando que ele quer apenas as soluções complexas imaginárias. Questão mal formulada.

[rafaelplaurindo]

Entendi sua explicação. Mas o que significa rebaixar por Briot-Ruffini?

[poti]

O método de Briot-Ruffini é um algoritmo para fatorar um polinômio. Sabe-se que para um polinômio de grau [tex3]n[/tex3] (maior expoente que acompanha as incógnitas), ele apresenta [tex3]n[/tex3] raízes complexas (Teorema Fundamental da Álgebra). Um polinômio de segundo grau, por exemplo, sempre tem duas raízes. Um polinômio de terceiro grau, sempre tem três raízes. Sempre podemos fatorar de acordo com as raízes:

[tex3]x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)[/tex3]
[tex3]x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x+3)(x+2)[/tex3]

Suponha que você só sabe uma raiz (vou usar o 1 como exemplo) desse último polinômio de terceiro grau. O que Briot-Ruffini te possibilita é achar um novo polinômio de grau menor para achar as outras duas raízes. Funciona assim:

[tex3]\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & 4 & 1 & -6 \\ \hline & a & b & c & 0 \end{array}[/tex3]

Perceba que isolamos a raiz do lado esquerdo e do lado direito colocamos os coeficientes do polinômio. [tex3]a[/tex3] será sempre a cópia do que está em cima dele (nesse caso, é um 1 também).

[tex3]\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & 4 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & b & c & 0 \end{array}[/tex3]

Para achar o [tex3]b[/tex3], você multiplica a raiz por esse [tex3]a[/tex3] (que vale 1) e soma com o próximo de cima (que é o 4):

[tex3]b = 1 \cdot 1 + 4 = 5[/tex3]

[tex3]\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & 4 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 5 & c & 0 \end{array}[/tex3]

Mesmo processo para achar o [tex3]c[/tex3], você multiplica a raiz por [tex3]b[/tex3] (que vale 5) e soma com o próximo de cima (que é o 1):

[tex3]c = 1 \cdot 5 + 1 = 6[/tex3]

[tex3]\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & 4 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array}[/tex3]

Perceba que [tex3]1 \cdot 6 - 6 = 0[/tex3], que já sabíamos, pois 1 é raiz (se não desse zero, o número [tex3]k[/tex3] que você colocou como raiz não seria raiz, e o resultado achado seria o resto da divisão do polinômio por [tex3](x-k)[/tex3], mas isso não é tão importante).

Com os coeficientes que conseguimos, montamos o novo polinômio.

[tex3]\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & 3 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array}[/tex3]

[tex3]1x^2 + 5x + 6 = 0[/tex3]

Resolvendo por Bhaskara, chegará às raízes -2 e -3 que fechavam a fatoração original.

[poti]

Tente fatorar o polinômio da minha resposta ao exercício e, se não conseguir, diga que eu te mostro.

[ALANSILVA]

Eu montei a equação e joguei os valores das alternativas, sendo que a raiz que não deixava verdadeira a igualdade, eu eliminava, então cheguei a letra C também. Foi a única que fez a igualdade ser verdadeira.