IME / ITA ⇒ (AFA - 2000) Números Complexos Tópico resolvido

[PréIteano]

Seja [tex3]\overline{z}[/tex3] o conjugado do número complexo [tex3]\frac{1}{2} + \frac{i}{2}[/tex3]. A sequência de todos os valores de [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3], tal que [tex3](\overline{z})^{-n}[/tex3] seja um imaginário puro, é uma progressão:

a) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 8
b) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 2
c) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4
d) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 1

[PedroCunha]

Olá, PréIteano.

Calculemos [tex3]\overline{z}[/tex3]:

[tex3]\overline{z} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \therefore \overline{z} = \frac{1-i}{2}[/tex3]

Vamos desenvolver agora a expressão pedida pelo enunciado:

[tex3](\overline{z})^{-n} = \left( \frac{1}{\overline{z}} \right)^n \therefore \left( \frac{1}{\frac{1-i}{2}} \right)^n \therefore \left( \frac{2}{1-i} \right)^n \therefore \left( \frac{2 \cdot (1+i)}{(1-i) \cdot (1+i)} \right)^n \therefore \left( \frac{2 \cdot (1+i)}{2} \right)^n \\\\ \therefore (1+i)^n[/tex3]

Para que seja imaginário puro, aquela expansão deve resultar em um número com a parte real nula. Observe que para [tex3]n = 2[/tex3], temos:

[tex3](1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i[/tex3]

Para [tex3]n = 6[/tex3], temos:

[tex3](1+i)^6 = [(1+i)^2]^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i[/tex3]

Para [tex3]n = 10[/tex3], temos:

[tex3](1+i)^{10} = [(1+i)^2]^5 = (2i)^5 = 32i^5 = 32i[/tex3]

e assim por diante.

Letra c.

É interessante lembrar da expansão [tex3](1\pm i)^2 = \pm 2i[/tex3].

Além disso, questão já existente no Fórum: viewtopic.php?t=18480

Por favor, pesquise antes de postar.

Att.,
Pedro