IME / ITA ⇒ (ITA - 1983) Função Trigonométrica Tópico resolvido

[raquelms1]

Dadas as funções [tex3]g(x) = 2\sen^{2}x - 3 \sen x + 1[/tex3], e [tex3]f(x^{2}) =\log_{2x}x[/tex3], definidas para [tex3]x > 0[/tex3] e [tex3]x\neq\frac{1}{2}[/tex3], o conjunto [tex3]A = \{\, x\,\in\, (0, 2\pi)\,:\, (gof)(x) = 0\, \}[/tex3] é dado por:

Resposta

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[tex3]A = \left\{\,4^{\frac{\pi}{2-\pi}},\,4^{\frac{\pi}{6-\pi}},\,4^{\frac{5\pi}{6-5\pi}}\,\right\}[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Raquelms1.

A princípio, notemos que se [tex3]f(x^2)=\log_{2x}x[/tex3], então [tex3]f(x)=\log_{2\sqrt x} \sqrt{x}[/tex3].

Fazendo [tex3]f(x)=y[/tex3], temos que

[tex3](g\circ f)(x)=0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,2\sin^2y-3\sin x+1=0[/tex3]

Assim,

[tex3]\sin y=\frac{1}{2}\,\,\,\,ou\,\,\,\,\sin y=1[/tex3]

Como estamos trabalhando com [tex3](0,\,2\pi)[/tex3], teremos,

[tex3]y=\frac{\pi}{6}\,\,\,\,ou\,\,\,\,y=\frac{5\pi}{6}\,\,\,\,ou\,\,\,\,y=\frac{\pi}{2}[/tex3]

Resubstituindo [tex3]y[/tex3],

[tex3]\log_{2\sqrt x} \sqrt{x}=\frac{\pi}{6}\,\,\,\,ou\,\,\,\,\log_{2\sqrt x} \sqrt{x}=\frac{5\pi}{6}\,\,\,\,ou\,\,\,\,\log_{2\sqrt x} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}[/tex3]

Pela definição de logaritmos,

[tex3]x^\frac{1}{2}=2^\frac{\pi}{6}x^\frac{\pi}{12}\,\,\,\,ou\,\,\,\,x^\frac{1}{2}=2^\frac{5\pi}{6}x^\frac{5\pi}{12}\,\,\,\,ou\,\,\,\,x^\frac{1}{2}=2^\frac{\pi}{2}x^\frac{\pi}{4 }[/tex3]

Simplificando,

[tex3]x=4^\frac{\pi}{6-\pi}\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=4^\frac{5\pi}{6-5\pi}\,\,\,ou\,\,\,\,x=4^\frac{\pi}{2-\pi}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.