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[tex3]ABCD[/tex3] é um quadrilátero inscritível. [tex3]\bar{AB}=6,[/tex3] [tex3]\bar{BC}=4,[/tex3] [tex3]\bar{BD}=7[/tex3] e [tex3]\bar{DA}=5.[/tex3] Quanto vale [tex3]\bar{CD}[/tex3]?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Olá Paulo,

Sendo um quadrilátero inscritível, temos a propriedade de que os ângulos opostos deste quadrilátero são suplementares, ou seja, somados resultam [tex3]180^{\circ}[/tex3].

Chamamos o ângulo [tex3]B\hat{A}D=\alpha[/tex3] e aplicamos a lei dos cossenos no triângulo ABD (que sabemos todos seus lados) em relação ao ângulo [tex3]\alpha[/tex3]:

[tex3]7^2=6^2+5^2-2\cdot 6\cdot 5\cdot\cos\alpha[/tex3]

[tex3]\cos\alpha=\frac{1}{5}[/tex3]

Pela propriedade dos quadriláteros inscritíveis, podemos dizer que o ângulo [tex3]B\hat{C}D=180^{\circ}-\alpha[/tex3]

Chamando o lado CD=X, aplicamos a lei dos cossenos no triângulo BCD em relação ao ângulo [tex3]180^{\circ}-\alpha[/tex3]:

[tex3]7^2=4^2+X^2-2\cdot 4\cdot X\cdot\cos(180^{\circ}-\alpha)[/tex3]

Sabemos que [tex3]\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha=-\frac{1}{5}[/tex3]

Substituindo este valor na equação e resolvendo, chegamos na equação do segundo grau:

[tex3]5X^2+8X-165=0[/tex3]

Que tem como raízes:

[tex3]X=5[/tex3] ou [tex3]X=-6,6[/tex3]

Ficamos com o positivo, pois é um comprimento.