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Determine e classifique os pontos críticos da função f(x) =[tex3]\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}[/tex3]-7x+10 , utilizando o critério da derivada segunda. Esboce o gráfico.

Determine e classifique os pontos críticos da função [tex3]f(x) =\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-7x+10[/tex3], utilizando o critério da derivada segunda.

Se [tex3]f(x) =\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-7x+10[/tex3], então temos que [tex3]f'(x) = x^{2}+5x-7[/tex3]
Os pontos críticos são os pontos em que a primeira derivada é nula ou não existe.
Portanto temos que: [tex3]f'(x) = x^{2}+5x-7= 0 \; \rightarrow \; x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2}-4.1.-7}}{2.1} = \frac{-5 \pm\sqrt{25+28}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{53}}{2} = \frac{-5 \pm 7.28}{2} \;\rightarrow \; \\\\ \; \rightarrow \; x' = \frac{-5 + 7.28}{2} = \frac{2.28}{2} = 1.14 \;\rightarrow \; x" = \frac{-5 -7.28}{2} = \frac{-12.28}{2} = -6.14[/tex3]

Devemos analisar então a segunda derivada para sabermos a concavidade.
Como [tex3]f'(x) = x^{2}+5x-7[/tex3], então [tex3]f"(x) = 2x+5[/tex3].
Quando [tex3]x=1.14,\; f"(1.14) = 2(1.14) + 5 = 2.28+5 = 7.28 > 0[/tex3]
Portanto, a concavidade é para cima e atinge um mínimo local em x = 1.14.

Quando [tex3]x=-6.14, \; f"(-6.14) = 2(-6.14) +5 = -12.28+5 = -7.28 < 0[/tex3]
Portanto, a concavidade é para baixo e atinge um máximo local em x = -7.28