Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Retas e Planos Tópico resolvido

[ilprofeta]

Dados os pontos [tex3]A = (1, 0, 0)[/tex3], [tex3]B = (0, 2, 0)[/tex3], [tex3]C = (0, 0, 3)[/tex3] e [tex3]O = (0, 0, 0)[/tex3], sejam [tex3]r[/tex3], [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] as retas que contêm os segmentos [tex3]OA[/tex3], [tex3]OB[/tex3] e [tex3]OC[/tex3], respectivamente. Encontre uma equação geral do plano [tex3]\pi[/tex3] paralelo ao plano que passa pelos pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], [tex3]C[/tex3] e de modo que a área do triângulo ABC seja igual a [tex3]7/8[/tex3], onde [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são os pontos de intersecção das retas [tex3]r[/tex3], [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] com o plano [tex3]\pi[/tex3], respectivamente.

[Juniorhw]

Vou fazer da maneira mais geral. Vamos primeiro achar o plano que passa pelos três pontos dados. O vetor normal do plano pode ser dado pelo produto vetorial de dois vetores não colineares contidos nesse plano. Pegando os vetores [tex3]\overrightarrow {AB}=(-1,2,0)[/tex3] e [tex3]\overrightarrow {BC}=(0,-2,3)[/tex3] e calculando o produto vetorial:

[tex3]\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {BC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&2&0\\0&-2&3\end{vmatrix}=(6,3,2)[/tex3]

Logo o plano pode ser descrito por:

[tex3]6(x-1)+3y+2z=0\\\\\Rightarrow 6x+3y+2z-6=0[/tex3]

Um plano paralelo a esse tem equação da forma [tex3]6x+3y+2z+d=0[/tex3]

As retas [tex3]r[/tex3], [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] são os próprios eixos, logo, achando as intersecções:

[tex3]r\cap \pi\Rightarrow 6x+d=0\Rightarrow x=-\frac{d}{6}\Rightarrow A=(-\frac{d}{6},0,0)[/tex3]
[tex3]s\cap \pi\Rightarrow 3y+d=0\Rightarrow y=-\frac{d}{3}\Rightarrow B=(0,-\frac{d}{3},0)[/tex3]
[tex3]t\cap \pi\Rightarrow 2z+d=0\Rightarrow z=-\frac{d}{2}\Rightarrow C=(0,0,-\frac{d}{2})[/tex3]

A área do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] é metade do módulo do produto vetorial [tex3]\overrightarrow {AB}\times\overrightarrow {BC}[/tex3]:

[tex3]\overrightarrow {AB}\times\overrightarrow {BC}=\begin{vmatrix}\vec i& \vec j &\vec k\\\\\frac{d}{6}&-\frac{d}{3}&0\\\\0&\frac{d}{3}&-\frac{d}{2}\end{vmatrix}=\left(\frac{d^2}{6},\frac{d^2}{12},\frac{d^2}{18}\right)[/tex3]

O módulo é:

[tex3]\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{\frac{d^4}{36}+\frac{d^4}{144}+\frac{d^4}{324}}=\sqrt{\frac{49d^4}{1296}}=\frac{7d^2}{36}[/tex3]

A metade disso é a área de [tex3]\triangle ABC[/tex3], que foi dada, logo:

[tex3]\frac{7d^2}{72}=\frac{7}{8}\Leftrightarrow d=\pm 3[/tex3]

e as possíveis equações do plano são:

[tex3]\boxed{6x+3y+2z+3=0\text{ ou } 6x+3y+2z-3=0}[/tex3]

Creio que seja isso,

Abraço.