IME / ITA ⇒ (AFA - 2005) Números Complexos Tópico resolvido

[PréIteano]

Considere o número complexo z = [tex3]\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}[/tex3] e calcule [tex3]z^{n}[/tex3]. No conjunto formado pelos quatro menores valores naturais de n para os quais [tex3]z^{n}[/tex3] é um número real,

a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4
b) há elementos cuja soma é igual a 30
c) existem um único número ímpar
d) existe apenas um elemento que é número primo

[csmarceloMOD]

Na forma trigonométrica,

[tex3]z=\cos\frac{\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{\pi}{3}[/tex3]

Logo,

[tex3]z^n=\cos\frac{n\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{n\pi}{3}[/tex3]

Assim,

[tex3]z^n[/tex3] será um número real quando [tex3]\sin\frac{n\pi}{3}=0[/tex3].

[tex3]\sin\frac{n\pi}{3}=0\rightarrow \frac{n\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbb{N}\rightarrow n=3k[/tex3]

Logo, os 4 menores números naturais de [tex3]n[/tex3] para os quais [tex3]z^n[/tex3] é um número real são: 0, 3, 6 e 9.

Resposta: d) existe apenas um elemento que é número primo.

Penso que seja isso.

[brunoafa]

Você preferiu usar [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3] mas poderia ter usado [tex3]\frac{7}{4}\pi[/tex3], não? E ai os valores seriam outros.

[csmarceloMOD]

Bruno,

Porque [tex3]\frac{7\pi}{4}[/tex3] ?

[brunoafa]

Bruno,

Porque [tex3]\frac{7\pi}{4}[/tex3] ?

Perdão, foi um erro de sinal no seno. Achei que o arco teria que ser do quarto quadrante.