Ensino Médio ⇒ Contradomínio

[ulisses123]

Seja f uma função de domínio R e contradomínio [-3,2].
Qual o contradomínio de |f| ?
(a) [2,3] (b) [-2,3] (c) [0,2] (d) [0,3]

[PedroCunha]

Creio que seja [tex3][0,2[/tex3].

Não tenho certeza.

[Cássio]

Pra mim continuaria sendo [-3, 2]. Na definição usual de |f| o contradomínio não muda. Agora, se a IMAGEM fosse [-3, 2], aí a IMAGEM de |f| seria [0, 3].

[PedroCunha]

Eu pensei nisso. Fui levado pelas alternativas.

Me tire uma dúvida, Cássio: pesquisei bastante e não encontrei muita coisa. O contradomínio da função modular é o conjuntos dos Reais?

Agradeço desde já.

Abraços,
Pedro

[Cássio]

Estritamente falando, o contradomínio pode ser qualquer conjunto contendo o [tex3]\mathbb{R}_+.[/tex3] Depende do seu interesse: se você quer usar em alguma parte que a função é sobrejetiva, então você coloca o contradomínio como [tex3]\mathbb{R}_+.[/tex3] Mas se não me engano, das vezes que vi, é mais comum definir o contradomínio sendo R mesmo. Mas "tanto faz" colocar [tex3]\mathbb{R}_+,[/tex3] ou [tex3]\mathbb{R}_+\cup\{-\pi\},[/tex3] ou [tex3]\mathbb{R}.[/tex3] A única vantagem é que na primeira opção você tem uma sobrejeção.

[PedroCunha]

Entendi. Valeu, Cássio!

Se você puder tirar mais uma dúvida: qual a diferença entre o contradomínio e a imagem?

[Cássio]

Dada uma função [tex3]f: A\to B[/tex3] chamamos [tex3]B[/tex3] de contradomínio. A imagem é definida por [tex3]Im(f)=\{f(x)| x\in A\}.[/tex3] Como para todo [tex3]x\in A[/tex3] tem-se [tex3]f(x)\in B[/tex3], temos então que a imagem é um subconjunto do contradomínio (podendo eventualmente ser o próprio contradomínio).

De modo informal, a diferença é que o contradomínio pode ter elementos que a imagem não tem.

No caso da função modular, creio que seja [tex3]f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}; f(x)=|x|.[/tex3]

Mas isso não impede de criar uma função com a mesma regra, mas contradomínio diferente: [tex3]f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}_+; f(x)=|x|.[/tex3] Só lembrando que do ponto de vista matemático, essa função e a modular são diferentes, pois diferem no contradominio.

[poti]

Entendi. Valeu, Cássio!

Se você puder tirar mais uma dúvida: qual a diferença entre o contradomínio e a imagem?

[tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x \mapsto f(x) = 1[/tex3]

O contradomínio da função [tex3]f(x) = 1[/tex3] é especificado como os reais, mas o conjunto-imagem só inclui [tex3]\{ 1 \}[/tex3], que é o único valor mapeado. Por isso que obter uma sobrejeção é coisa fácil, basta restringir o contradomínio de forma conveniente de forma que [tex3]Cd(f) = Im(f)[/tex3].

Essa função seria sobrejetora se fosse escrita assim:

[tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \{1 \} \\
x \mapsto f(x) = 1[/tex3]

[PedroCunha]

Muito obrigado aos dois.

Aprendi bastante neste tópico.