Solução alternativa P.1 - Maratona Mat FUVEST/Unicamp
Enviado: 05 Jul 2014, 23:28
Essa solução e mais trabalhosa da que foi apresentada. Gostei muito da resolução do cscarmelo.
--------------------------------------------------------------------
A área do quadrado [tex3]S_Q[/tex3] é dada por:
Com isso, para que a área do quadrado seja maior que a área do triângulo, devemos ter:
--------------------------------------------------------------------
A área do quadrado [tex3]S_Q[/tex3] é dada por:
[tex3]S_Q=l^2[/tex3]
Para calcular a área [tex3]S_T[/tex3] do triângulo, primeiramente observemos que (obtido pela lei dos senos):
[tex3]OA=OB=d= \dfrac{l\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin (\theta)}[/tex3]
Logo, a altura [tex3]h[/tex3] do triângulo (e consequentemente a sua área) é dado por:
[tex3]h=d \cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{l\cos^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin(\theta)}\Rightarrow S_T = \dfrac{l\cdot h}{2}=\dfrac{l^2\cos^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{2\sin (\theta)}[/tex3]
Com isso, para que a área do quadrado seja maior que a área do triângulo, devemos ter:
[tex3]S_Q > S_T \Rightarrow l^2 >\dfrac{l^2 \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{2 \sin \theta} \Rightarrow 1> \dfrac{cos^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{4 \sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \tan \left(\dfrac{\theta}{2}\right)>\dfrac{1}{4}[/tex3]
O resto segue como foi feito na questão...