Ensino Médio ⇒ Trinômio do 2° Grau Tópico resolvido

[Procurador]

Decompor, em fatores do primeiro grau o trinômio: [tex3]y=5x^2-26x+5[/tex3].

*Estou muito confuso e não conseguir resolver, porque tenho um livro que diz que tem que ser feito dessa maneira: [tex3]x^2+Sx+P = (x+p)\cdot (x+q)[/tex3] onde [tex3]p+q=S[/tex3] e [tex3]p\cdot q=P[/tex3].

Já em um site diz que é assim: [tex3]ax^2+bx+c= a[(x-x_1)\cdot (x-x_2)][/tex3]. A única diferença que vejo é no sinal, qual o certo, como faz?

[poti]

São duas visões para um mesmo problema e ambas estão corretas. Particularmente, prefiro a segunda, pois usa os sinais alternados das relações de Girard.

[tex3]x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}[/tex3]
[tex3]x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex3]

Perceba que é a mesma coisa, mas no primeiro caso ele simplificou fazendo o coeficiente de [tex3]x^2[/tex3] valendo 1. O segundo caso é mais geral.

[PedroCunha]

Olá, Procurador.

Eu faria da seguinte maneira:

seja [tex3]f(x) = ax^2+bx+c[/tex3] uma função do segundo grau qualquer. Sendo [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] suas raízes, ela pode ser decomposta da seguinte maneira:

[tex3]f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x-x_2)[/tex3]

Assim, no exercício proposto, temos:

[tex3]5x^2-26x+5 = 0, \triangle = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 \therefore \triangle = 576 \\\\ x = \frac{-(-26) \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 5} \therefore x = 5 \text{ ou } x = \frac{1}{5}[/tex3].

Sendo [tex3]a = 5[/tex3] nesse caso, temos:

[tex3]y = 5 \cdot (x-5) \cdot \left( x - \frac{1}{5} \right)[/tex3]

É isso.

Att.,
Pedro

[Procurador]

poti, não me leve a mal, não é querendo duvidar de seu conhecimento, mas a primeira relação ela não satisfaz o exercício proposto, pode perceber que pra satisfazer o exercício o sinal tem que ser o negativo. O positivo não, caso eu esteja errado, corrija-me.

[poti]

poti, não me leve a mal, não é querendo duvidar de seu conhecimento, mas a primeira relação ela não satisfaz o exercício proposto, pode perceber que pra satisfazer o exercício o sinal tem que ser o negativo. O positivo não, caso eu esteja errado, corrija-me.

Perceba que houve uma mudança de variáveis na primeira explicação.

[tex3](x-x_1)(x-x_2)[/tex3] virou [tex3](x+p)(x+q)[/tex3], ou seja, [tex3]p = -x_1[/tex3] e [tex3]q = -x_2[/tex3]. Por Girard:

[tex3]x_1 + x_2 = -S \Rightarrow p + q = -x_1 - x_2 = -(-S) = S \Rightarrow \boxed{p+q = S}[/tex3]

Agora vamos verificar a outra relação, usando Girard novamente:

[tex3]x_1 \cdot x_2 = P \Rightarrow p \cdot q = (-x_1) \cdot (-x_2) = x_1 \cdot x_2 = P \Rightarrow \boxed{p \cdot q = P}[/tex3]

Só foi uma forma menos convencional, mas não há erro.

Abraço!

[Procurador]

poti, eu sei que não há erro, mas acredito que você não entendeu. O que eu quis dizer era que a primeira realção [tex3]x^2+Sx+P = (x+p)\cdot (x+q)[/tex3] onde [tex3]p+q=S , p\cdot q=P[/tex3], não satisfaz o problema proposto. Olha como eu tentei resolver:

[tex3]5x^2-26x+5 = 0, \triangle = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 \therefore \triangle = 576 \\\\ x = \frac{-(-26) \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 5} \therefore x = 5 \text{ ou } x = \frac{1}{5}[/tex3]

Dai veja só, [tex3]x_1= 5, x_2 =\frac{1}{5}[/tex3], certo?
Se aplicarmos na primeira relação, ela não ira satisfazer a questão.

Veja bem:
[tex3](x+p)\cdot (x+q)=(x+5)\cdot (x+\frac{1}{5})[/tex3]
[tex3]p+q=S = 5+\frac{1}{5}=-26 = -\frac{104}{5} = -20,8[/tex3]
[tex3]p\cdot q=P = 5\cdot \frac{1}{5}= 5 = \frac{5}{5} = 1[/tex3]

Logo não resolve. Diferentemente da segunda relação que usa os sinais alternados justamente pela relação de Girard que dá certo, veja:

[tex3]y = 5 \cdot (x-5) \cdot \left( x - \frac{1}{5} \right)[/tex3]
[tex3](5x-25)\cdot (5x-1)[/tex3]
[tex3]25x^2-5x-125x+25[/tex3]
[tex3]25x^2-130x+25 = 5x^2-26x+5[/tex3]

Caso eu esteja errado, corrija-me.
Abraço.

[poti]

Se [tex3]x_1 = 5[/tex3] e [tex3]x_2 = \frac{1}{5}[/tex3], então [tex3]p = -5[/tex3] e [tex3]q = - \frac{1}{5}[/tex3].

[tex3]-5 - \frac{1}{5} = -\frac{26}{5}[/tex3]
[tex3]-5 \cdot -\frac{1}{5} = 1[/tex3]

Lembre que a relação só vale para o polinômio cujo coeficiente de [tex3]x^2[/tex3] vale [tex3]1[/tex3]. Então:

[tex3]y = x^2 - \frac{26}{5}x + 1 = \frac{1}{5} \cdot (5x^2 - 26x + 5)[/tex3]

Você só não chega no polinômio original por conta da constante que precisa ser, necessariamente, a que transforma o coeficiente de [tex3]x^2[/tex3] em [tex3]1[/tex3]. Não há erro.

[Procurador]

Entendi poti... Estava fazendo confusão, desculpa.
Agora só me diz porque houve esse produto depois da igualdade? Só essa parte que não entendi...

[poti]

Entendi poti... Estava fazendo confusão, desculpa.
Agora só me diz porque houve esse produto depois da igualdade? Só essa parte que não entendi...

Só quis mostrar que você chegava no polinômio original ([tex3]5x^2 - 26x + 5[/tex3]) a menos de uma constante [tex3](\frac{1}{5}[/tex3]).

[Procurador]

Agradecido poti, a você também PenhoCunha.