Pré-Vestibular ⇒ (UEM) Polinômios

[murilogazola]

(UEM)Considerando o polinômio p(x)=[tex3]x^3-kx^2+x-k[/tex3] com k [tex3]\in \mathcal{R}[/tex3] , assinale a alternativa correta.

A) p(x) possui duas raízes positivas.
B) A soma e o produto das raízes de p(x) são distintos.
C) O polinômio p(x) possui três raízes, mas apenas uma é complexa.
D) O polinômio p(x) é divisível por [tex3]x^2+1[/tex3]
E) O resto da divisão de p(x) por x + k é [tex3]2k(k^2+1)[/tex3], para todo k [tex3]\in \mathcal{R}[/tex3]

alguém pode me ajudar?

[Karl Weierstrass]

[tex3]\hspace{70pt}p(x)\,=\,x^3\,-\,kx^2\,+\,x\,-\,k\,=\,x^2\,\cdot\,(x\,-\,k)\,+\,1\,\cdot\,(x\,-\,k)\,=\,(x^2\,+\,1)\,\cdot\,(x\,-\,k)[/tex3]


[tex3]\boxed{\text{D}}[/tex3]





[tex3]\,[/tex3]

[murilogazola]

Karl Weierstrass, muito obrigado pela resolução,
consegue entender sim!..
Só fiquei com alguns dúvidas se você souber me dizer,
a) p(x) possui duas raízes positivas [tex3]\large =>[/tex3] como vou saber se elas possui duas raízes positivas?
b) A soma e o produto das raízes de p(x) são distintos. como vou saber se o produto das raízes p(x) são distintos, não entendo, como assim distintos?
c) O polinômio p(x) possui três raízes, mas apenas uma é complexa. [tex3]\large =>[/tex3] Como vou saber se apenas uma é complexa?
e) O resto da divisão de p(x) por x + k é , para todo k E R. [tex3]\large =>[/tex3] Como vou saber se o resto pertece aos reais =[ ?

[Karl Weierstrass]

Seja o polinômio na variável [tex3]x[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}p(x)\,=\,a_nx^n\,+\,a_{n-1}x^{n-1}\,+\,\cdots\,+\,a_2x^2\,+\,a_1x\,+\,a_0[/tex3]

Se [tex3]r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n[/tex3] são as raízes de [tex3]p(x),[/tex3] então

[tex3]\hspace{70pt}p(x)\,=\,a_n(x\,-\,r_1)(x\,-\,r_2)\,\cdots\,(x\,-\,r_n)[/tex3]

Escrevi [tex3]p(x)[/tex3] na forma fatorada. Se [tex3]x^2\,+\,1[/tex3] é um fator de [tex3]p(x),[/tex3] então [tex3]p(x)[/tex3] é divisível por [tex3]x^2\,+\,1[/tex3].

Como a questão é objetiva e o resultado é obtido diretamente da fatoração, não analisei as outras alternativas.

a) [tex3]p(x)[/tex3] possui claramente duas raízes complexas, pois [tex3]x^2\,+\,1\,=\,0[/tex3] não apresenta raízes reais.

[tex3]\hspace{70pt}x^2\,+\,1\,=\,0\,\Longrightarrow \,x\,=\,\pm\sqrt{-1}\,=\,\pm i.[/tex3]

A outra raiz é [tex3]k[/tex3], pois [tex3]x\,-\,k\, =\,0[/tex3] implica em [tex3]x \,=\,k[/tex3]. Sabemos que [tex3]k[/tex3] é real. Não temos informações suficientes para determinar [tex3]k[/tex3].

Antes que você pergunte por que fiz [tex3]x^2\,+\,1\,=\,0[/tex3] e [tex3]x\,-\,k\, =\,0[/tex3], lembre que o produto [tex3]ab\,=\,0[/tex3] se [tex3]a\,=\,0,[/tex3] ou [tex3]b\,=\,0[/tex3] ou [tex3]a\,=\,b\,=\,0.[/tex3]

Como queremos as raízes de [tex3]p(x),[/tex3] devemos impor [tex3]p(x)\,=\,0.[/tex3] Logo, [tex3](x^2\,+\,1)(x\,-\,k)\,=\,0.[/tex3]


b) distinto é o mesmo que diferente. Pelas relações de Girard o produto das raízes é [tex3]\text{-}\Large\frac{-k}{1}\large\,=\,k[/tex3] e a soma é [tex3]\text{-}\Large\frac{-k}{1}\large\,=\,k[/tex3]. Logo a soma e o produto das raízes são iguais para todo [tex3]k[/tex3] real.


c) Por (a) sabemos que essa afirmação é falsa. Se você não sabe o que é um número complexo esqueça esse problema até aprender o que significa, e depois conversamos. Caso contrário, se [tex3]a\,+\,bi[/tex3] é raiz de um polinômio, o seu conjugado [tex3]a\,-\,bi[/tex3] também é raiz. Isto implica no fato de que um polinômio apresenta sempre um número par de raízes complexas.


e) O resto da divisão de um polinômio [tex3]p(x)[/tex3] por [tex3]x\,-\,a[/tex3] é dado por [tex3]p(a)[/tex3]. É o que diz o Teorema do Resto. Então devemos calcular [tex3]p(-k).[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt} p(-k)\,=\,-2k^3\,-\,2k\,=\,-2k(k^2\,+\,1)\,\neq\, 2k(k^2\,+\,1).[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

Seja o polinômio na variável [tex3]x[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}p(x)\,=\,a_nx^n\,+\,a_{n-1}x^{n-1}\,+\,\cdots\,+\,a_2x^2\,+\,a_1x\,+\,a_0[/tex3]

Se [tex3]r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n[/tex3] são as raízes de [tex3]p(x),[/tex3] então

[tex3]\hspace{70pt}p(x)\,=\,a_n(x\,-\,r_1)(x\,-\,r_2)\,\cdots\,(x\,-\,r_n)[/tex3]

Escrevi [tex3]p(x)[/tex3] na forma fatorada. Se [tex3]x^2\,+\,1[/tex3] é um fator de [tex3]p(x),[/tex3] então [tex3]p(x)[/tex3] é divisível por [tex3]x^2\,+\,1[/tex3].

Como a questão é objetiva e o resultado é obtido diretamente da fatoração, não analisei as outras alternativas.

a) [tex3]p(x)[/tex3] possui claramente duas raízes complexas, pois [tex3]x^2\,+\,1\,=\,0[/tex3] não apresenta raízes reais.

[tex3]\hspace{70pt}x^2\,+\,1\,=\,0\,\Longrightarrow \,x\,=\,\pm\sqrt{-1}\,=\,\pm i.[/tex3]

A outra raiz é [tex3]k[/tex3], pois [tex3]x\,-\,k\, =\,0[/tex3] implica em [tex3]x \,=\,k[/tex3]. Sabemos que [tex3]k[/tex3] é real. Não temos informações suficientes para determinar [tex3]k[/tex3].

Antes que você pergunte por que fiz [tex3]x^2\,+\,1\,=\,0[/tex3] e [tex3]x\,-\,k\, =\,0[/tex3], lembre que o produto [tex3]ab\,=\,0[/tex3] se [tex3]a\,=\,0,[/tex3] ou [tex3]b\,=\,0[/tex3] ou [tex3]a\,=\,b\,=\,0.[/tex3]

Como queremos as raízes de [tex3]p(x),[/tex3] devemos impor [tex3]p(x)\,=\,0.[/tex3] Logo, [tex3](x^2\,+\,1)(x\,-\,k)\,=\,0.[/tex3]


b) distinto é o mesmo que diferente. Pelas relações de Girard o produto das raízes é [tex3]\text{-}\Large\frac{-k}{1}\large\,=\,k[/tex3] e a soma é [tex3]\text{-}\Large\frac{-k}{1}\large\,=\,k[/tex3]. Logo a soma e o produto das raízes são iguais para todo [tex3]k[/tex3] real.


c) Por (a) sabemos que essa afirmação é falsa. Se você não sabe o que é um número complexo esqueça esse problema até aprender o que significa, e depois conversamos. Caso contrário, se [tex3]a\,+\,bi[/tex3] é raiz de um polinômio, o seu conjugado [tex3]a\,-\,bi[/tex3] também é raiz. Isto implica no fato de que um polinômio apresenta sempre um número par de raízes complexas.


e) O resto da divisão de um polinômio [tex3]p(x)[/tex3] por [tex3]x\,-\,a[/tex3] é dado por [tex3]p(a)[/tex3]. É o que diz o Teorema do Resto. Então devemos calcular [tex3]p(-k).[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt} p(-k)\,=\,-2k^3\,-\,2k\,=\,-2k(k^2\,+\,1)\,\neq\, 2k(k^2\,+\,1).[/tex3]

Gostaria de deixer meu comnetario :
O Karl sempre ajuda muito com suas explicações teóricas!!!
Obrigado por essa grande ajuda , que faz o tutorbrasil ser o melhor fórum do brasil de matematica na minha opinião!

Grande ABraço!