IME / ITA ⇒ (IME - 1974) Divisão Harmônica Tópico resolvido

[kevin22]

Seja um triângulo [tex3]ABC[/tex3]. De [tex3]B[/tex3] e de [tex3]C[/tex3] tiram-se duas cevianas [tex3]BN[/tex3] e [tex3]CP[/tex3]. Seja [tex3]BN\cap CP = {O}[/tex3] . De [tex3]A[/tex3] tira-se a ceviana [tex3]AO[/tex3] que corta [tex3]BC[/tex3] em [tex3]M[/tex3]. Seja [tex3]PN\cap BC= {S}[/tex3]. Demonstre que [tex3]M[/tex3] e [tex3]S[/tex3] dividem harmonicamente o lado [tex3]BC[/tex3].

[jedi]

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[tex3]\frac{CM}{\sen (t)}=\frac{MO}{\sen (x)}[/tex3]

[tex3]\frac{BM}{\sen (s)}=\frac{MO}{\sen (y)}[/tex3]

[tex3]\frac{CM}{BM}=\frac{\sen (t)\cdot \sen (y)}{\sen (s)\cdot \sen (x)}[/tex3]

[tex3]\frac{AO}{\sen (r)}=\frac{AN}{\sen (s)}[/tex3]

[tex3]\frac{AO}{\sen (z)}=\frac{AP}{\sen (t)}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (t)}{\sen (s)}=\frac{AP\cdot \sen (z)}{AN\cdot \sen (r)}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (t)}{\sen (s)}=\frac{\sen (q)\cdot \sen (z)}{\sen (h)\cdot \sen (r)}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (q)}{CP}=\frac{\sen (j)}{CN}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (r)}{CB}=\frac{\sen (y)}{CN}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (t)}{\sen (s)}=\frac{CP\cdot \sen (j)\cdot \sen (z)}{CB\cdot \sen (h)\cdot \sen (y)}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (z)}{CB}=\frac{\sen (k)}{CP}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (t)}{\sen (s)}=\frac{\sen (j)\cdot \sen (k)}{\sen (h)\cdot \sen (y)}[/tex3]

[tex3]\frac{CM}{BM}=\frac{\sen (y)}{\sen (x)}\cdot \frac{\sen (j)\cdot \sen (k)}{\sen (h)\cdot \sen (y)}[/tex3]

[tex3]\frac{CM}{BM}=\frac{\sen (j)\cdot \sen (k)}{\sen (h)\cdot \sen (x)}[/tex3]

[tex3]\frac{CS}{\sen (j)}=\frac{PS}{\sen (x)}[/tex3]

[tex3]\frac{BS}{\sen (h)}=\frac{PS}{\sen (k)}[/tex3]

[tex3]\frac{CS}{BS}=\frac{\sen (j)\cdot \sen (k)}{\sen (h)\sen (x)}[/tex3]

portanto

[tex3]\frac{CM}{BM}=\frac{CS}{BS}=\frac{\sen (j)\cdot \sen (k)}{\sen (h)\sen (x)}[/tex3]

talvez não tenha ficado muito claro porque utiliza muitos angulos e relações vou tentar melhorar a resposta se conseguir posto aqui

[kevin22]

Achei uma maneira mais fácil! Aplicando os teoremas de Menelaus e Ceva