Ensino Superior ⇒ Limite (L'Hôpital)

[PréIteano]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ (1\ -\ tgx)\ sec2x[/tex3]

R: 1

[RafaeldeLima]

Reescrevendo:

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{(1\ -\ \tg x )}{\cos 2x}[/tex3]

Derivando numerador e denominador:

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\frac{(\sen x )'\cdot \cos x - \sen x \cdot (\cos x )'}{(\cos x )^{2}}}{-2\cdot \sen 2x}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\frac{(\cos x )^{2} + (\sen x )^{2}}{(\cos x )^{2}}}{-2\cdot \sen 2x}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\frac{-[(\cos x )^{2} + (\sen x )^{2}]}{(\cos x )^{2}}}{-2\cdot \sen 2x}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\frac{1}{(\cos x )^{2}}}{2\cdot \sen 2x} = \frac{2}{2} = 1[/tex3]

[PréIteano]

Rafael, poderia explicar como chegou nessa expressão: [tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\frac{(\sen x )'\cdot \cos x - \sen x \cdot (\cos x )'}{(\cos x )^{2}}}{-2\cdot \sen 2x}[/tex3]?
De onde vem o primeiro 2 no denominado?
Para mim, a equação ficaria assim: [tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\frac{-1}{(\cos x )^{2}}}{-\sen 2x}[/tex3]

[RafaeldeLima]

Então amigo,

Primeiro você pode escrever [tex3]tanx = \frac{senx}{cosx}[/tex3]

Então a regra de L'Hopital garante que voce mantem inalterado o limite se derivar o numerador e denominador:

Como a expressao da tangente é um quociente, a derivada de um quociente fica assim:

[tex3]\left(\frac{u}{v}\right)^{'} = \frac{u^{'}.v - u.v^{'}}{v^{2}}[/tex3]

E embaixo temos a derivada de [tex3]cos2x[/tex3] , onde teremos que usar a regra da cadeia, derivando primeiro [tex3]cos2x[/tex3] em relacão a 2x e depois multiplicar pela derivada de 2x em relação a x :

[tex3][cos(2x)]' = \frac{d(cos2x)}{d(2x)}.\frac{d(2x)}{dx}[/tex3]

Que resulta em:

[tex3][cos(2x)]' = -sen(2x).2[/tex3]

Esse menos aí vai cortar com o menos que tinha originalmente no numerador [tex3]1 \ \boxed{-} \ tan(x)[/tex3]. Isso ocorre porque quando voce derivar o numerador o 1 desaparece.

[RafaeldeLima]

Mas voce tem razão, eu esqueci o menos do numerador. Mas a partir da terceira linha eu coloquei ele novamente.

Voce chegou numa expressao bastante proxima. O seu numerador esta correto, mas no denominador voce esqueceu de multiplicar por 2, que surge da regra da cadeia.

[RafaeldeLima]

Essa questão também pode ser resolvida sem usar derivadas nem L'Hopital:

Primeiro note que:

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ (1\ -\ tgx)\ . \ sec2x = \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\left(1\ -\ \frac{senx}{cosx}\right)}{\ cos2x}[/tex3]

Tirando o mínimo da fração no numerador, e usando a identidade [tex3]cos2x = cos^{2}x - sen^{2}x[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{\left(1\ -\ \frac{senx}{cosx}\right)}{\ cos2x} = \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{ cosx - senx}{(cosx).(cos^{2}x - sen^{2}x)}[/tex3]

Fatorando [tex3]cos^{2}x - sen^{2}x = (cosx+senx)(cosx-senx)[/tex3] temos:

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{ (cosx - senx)}{(cosx).(cosx + senx).(cosx-senx)}[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\ \frac{1}{(cosx).(cosx + senx)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}.(\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{2}{2} = 1[/tex3]