Pré-Vestibular ⇒ (UNIVEST) Geo Plana Tópico resolvido

[LeoDiaz]

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João pegou uma folha retangular de cartolina, de dimensões proporcionais a [tex3]4[/tex3] e a [tex3]5[/tex3], e nela marcou seus vértices A,B,C e D e traçou os segmentos PQ, QM e MC conforme figura acima. Sabe-se que [tex3]AB>BC[/tex3],[tex3]PM=MB[/tex3] e [tex3]\overline{PQ}//\overline{AD}[/tex3]. Se a razão entre as medidas dos segmentos [tex3]\overline{AP}[/tex3] e [tex3]\overline{AM}[/tex3] é expressa pela fração [tex3]\frac{1}{3}[/tex3], a que percentual da área da folha de cartolina corresponde a área do triângulo CMQ

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

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Pelos dados do problema temos:
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{5}{4}[/tex3] e [tex3]\frac{a}{b}=\frac{1}{3}[/tex3]
A base do [tex3]\Delta CQM[/tex3] é [tex3]2b[/tex3] e sua altura é [tex3]y[/tex3], portanto sua área será:
[tex3]A_{\Delta CMQ}=\frac{2\cdot b \cdot y}{2}=by[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

A área do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] é dada por:
[tex3]A_{ABCD}=x \cdot y[/tex3], mas [tex3]x=2b+a[/tex3] e [tex3]a=\frac{b}{3}[/tex3], portanto:
[tex3]A_{ABCD}=\left(2b+a\right)\cdot y[/tex3]
[tex3]A_{ABCD}=\left( 2 \cdot b +\frac{b}{3}\right) \cdot y[/tex3]
[tex3]A_{ABCD}=\frac{7\cdot b\cdot y}{3}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

A razão entre a área do [tex3]\Delta CMQ[/tex3] e o quadrado [tex3]ABCD[/tex3] é:
[tex3]\frac{A_{\Delta CMQ}}{A_{ABCD}}=\frac{b \cdot y}{\frac{7 \cdot b \cdot y}{3}}=\frac{3}{7}=42\frac{6}{7}\%[/tex3]

Espero ter ajudado!

[jedi]

[tex3]\frac{AP}{AM}=\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{AP}{AP+PM}=\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]3AP=AP+PM[/tex3]

[tex3]AP=\frac{PM}{2}[/tex3]

[tex3]AB=AP+PM+MC[/tex3]

[tex3]AB=\frac{PM}{2}+PM+PM[/tex3]

[tex3]AB=\frac{5\cdot PM}{2}[/tex3]

[tex3]PM=\frac{2\cdot AB}{5}[/tex3]

[tex3]PB=\frac{4\cdot AB}{5}[/tex3]

[tex3]A_{ABCD}=AB\cdot AD[/tex3]

[tex3]A_{CMQ}=\frac{AD\cdot PB}{2}[/tex3]

[tex3]A_{CMQ}=\frac{AD}{2}\cdot \frac{4\cdot AB}{5}[/tex3]

[tex3]A_{CMQ}=\frac{2\cdot AD\cdot AB}{5}[/tex3]

[tex3]\frac{A_{CMQ}}{A_{ABCD}}=\frac{2\cdot AB\cdot AD}{5\cdot AB\cdot AD}[/tex3]

[tex3]\frac{A_{CMQ}}{A_{ABCD}}=\frac{2}{5}=40\%[/tex3]

[VALDECIRTOZZI]

A resolução do jedi está correta pois me equivoquei no momento de escrever a razão [tex3]\frac{a}{b}=\frac{1}{3}[/tex3].
Grato pela correção.