Ensino Médio ⇒ Triângulo de Pascal: Teorema das Linhas Tópico resolvido

[Gustavo_HSAL]

Calcule o valor da soma:

[tex3]1\cdot C_n^1 + 2\cdot C_n^2 + 3\cdot C_n^3 + 4\cdot C_n^4 + ... + n\cdot C_n^n[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Calcule o valor da soma

[tex3]\hspace{70pt}1\,\cdot\,{n\choose 1}\,+\,2\,\cdot\,{n\choose 2}\,+\,3\,\cdot\,{n\choose 3}\,+\,\cdots \,+\,n\,\cdot\,{n\choose n}[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}1\,\cdot\,{n\choose 1}\,+\,2\,\cdot\,{n\choose 2}\,+\,3\,\cdot\,{n\choose 3}\,+\,\cdots \,+\,n\,\cdot\,{n\choose n}\,=\,\\

\hspace{70pt}\displaystyle \sum_{p=1}^n p\,\cdot\,{n\choose p}\,=[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\displaystyle \sum_{p=1}^n p\,\cdot\,\frac{n!}{(n\,-\,p)!\,\cdot\,p!}\,=\,\\
\hspace{70pt}\displaystyle \sum_{p=1}^n p\,\cdot\,\frac{n\,\cdot\,(n\,-\,1)!}{(n\,-\,p)!\,\cdot\,p\,\cdot\,(p\,-\,1)!}\,=\,\\

\hspace{70pt}n\,\cdot\,\displaystyle \sum_{p=1}^n\frac{(n\,-\,1)!}{(n\,-\,p)!\,\cdot\,(p\,-\,1)!}\,=[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}n\,\cdot\,\displaystyle \sum_{p=1}^n {n-1\choose p-1} \,=[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}n\,\cdot\,\left[{n-1\choose 0}\,+\,{n-1\choose 1}\,+\,{n-1\choose 2}\,+\,\cdots \,+\,{n-1\choose n-1}\right]\,=\,n\,\cdot\,2^{n-1}.[/tex3]











[tex3]\,[/tex3]

[triplebig]

Karl, tirar o [tex3]n[/tex3] de dentro do somatório não faz sentido, você podia explicar esse passo?

[Karl Weierstrass]

Pois não Big.

[tex3]\hspace{70pt}\displaystyle \sum_{i=1}^j k\,\cdot\,i \,=\,k\,\cdot\,1\,+\,k\,\cdot\,2\,+\,\cdots\,+\,k\,\cdot\,j\,=\,k\,\cdot\,(1\,+\,2\,+\,\,\cdots\,+j)\,=\,k\,\cdot\,\displaystyle \sum_{i=1}^j i.[/tex3]

O [tex3]k[/tex3] é fixo.

Exemplo de aplicação.

Abraço.

[triplebig]

O que não podia botar para fora era o [tex3]p[/tex3], que eu confundi com o [tex3]n[/tex3].