IME / ITA ⇒ (ITA - 1989) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[rean]

Num triângulo [tex3]ABC,[/tex3] [tex3]D[/tex3] é o ponto médio do segmento [tex3]AC[/tex3] e [tex3]E[/tex3] é um ponto do segmento [tex3]AB.[/tex3] Sabendo-se que [tex3]\overline{AB}= 3\overline{AE} ,[/tex3] determine a razão entre a área do quadrilátero [tex3]BCDE[/tex3] e a do triângulo [tex3]ADE.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]5[/tex3]

[Chris]

Podemos definir a área de um triângulo qualquer como:

• [tex3]\frac{a\cdot b\cdot \text{sen} \widehat{C}}{2},[/tex3]

sendo [tex3]\widehat{C}[/tex3] o ângulo formado pelos lados [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3]

Façamos [tex3]\overline{AE}= x,[/tex3] portanto [tex3]\overline{BE} =2x[/tex3] e [tex3]\overline{AD}=y,[/tex3] logo [tex3]\overline{DC}=y.[/tex3]

• [tex3][ADE] = \frac{\overline{AE}\cdot \overline{AD}\cdot \text{sen} B\widehat{A}C}{2} = \frac{xy\cdot\text{sen}B\widehat{A}C}{2}[/tex3]
  
  [tex3][ABC] = \frac{\overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot \text{sen}B\widehat{A}C}{2}=\frac{6xy\cdot \text{sen}B\widehat{A}C}{2}[/tex3]

Portanto a área do triângulo [tex3]\triangle ADE[/tex3] é um sexto da área do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] e, portanto, a razão pedida é [tex3]5.[/tex3]

[rean]

Bem interesante Cris a sua resolução. Veja essa outra.

Seja [tex3]S=[ABC][/tex3] a área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Como os triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BDC[/tex3] têm alturas iguais e [tex3]\overline{AD} =\overline{DC},[/tex3]

• [tex3][ABD]=[BDC]= \frac{S}{2}[/tex3]

Como os triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]ADE[/tex3] têm alturas iguais e [tex3]\overline{AB}=3\cdot \overline{AE},[/tex3]

• [tex3][ADE]=\frac{1}{3}\cdot [ABD]= \frac{1}{3}\cdot \frac{S}{2}=\frac{S}{6}[/tex3]

Portanto,

• [tex3][BCDE]=[ABC]-[ADE]=S-\frac{S}{6}=\frac{5S}{6}[/tex3]

e

• [tex3]\frac{[BCDE]}{[ADE]}=5.[/tex3]