Estude! Com Prof. Caju

Um feiticeiro vai comprar os ingredientes que sua esposa bruxa precisa para preparar uma poção mágica. Ele tem cem reais para fazer as compras numa loja de artigos estranhos. A loja vende rabo de morcego por cinco reais o pedaço, unhas de lagartixa por cinco reais o pedaço, olhos de salamandra por cinco reais a unidade e sangue de novilho por vinte reais o litro. Calcular o número de maneiras distintas que a compra poderá ser feita com os cem reais do feiticeiro. Divida o resultado por [tex3]13[/tex3].
Obs.: Os ingredientes não podem ser subdivididos.

Sejam [tex3]x,\,y,\,z[/tex3] e [tex3]w[/tex3], respectivamente, o número de pedaços de rabo de morcego, o número pedaços de unha de largatixa, o número de olhos de salamandra e o número de litros de sangue de novilho.

O número de maneiras de fazer a compra é dado pelo número de soluções inteiras não negativas da equação

[tex3]\hspace{70pt}5x\,+\,5y\,+\,5z\,+\,20w\,=\,100[/tex3]

Simplificando, obtemos

[tex3]\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,+\,4w\,=\,20[/tex3]

Fazendo [tex3]t\, =\,4w[/tex3], vem

[tex3]\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,+\,t\,=\,20[/tex3]

Como [tex3]w \in \{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\},[/tex3] [tex3]t \in \{0,\,4,\,8,\,12,\,16,\,20\}[/tex3].

Assim, o resultado procurado é a soma do número de soluções inteiras não negativas das equações:

[tex3]\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,=\,20\\

\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,=\,16\\

\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,=\,12\\

\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,=\,8\\

\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,=\,4\\

\hspace{70pt}x\,+\,y\,+\,z\,=\,0\\[/tex3]

Sabendo que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma

[tex3]\hspace{70pt}x_1\,+\,x_2\,+\,\cdots\,+\,x_n\,=\,p,[/tex3]

é dado por [tex3]CR_{n,\,p}\,=\,C_{n+p-1,\,p},[/tex3] concluímos que existem [tex3]536[/tex3] maneiras de efetuar a compra dos ingredientes. Logo, [tex3]\frac{536}{13}\,\approx\,41.[/tex3]

Obs.: [tex3]CR_{n,p}\,=\,C_{n+p-1,\,p},[/tex3] é o número de combinações completas de [tex3]n[/tex3] objetos de classe [tex3]p[/tex3].