IME / ITA ⇒ (CPACN - 1983) Geometria Plana Tópico resolvido

[bravoalpha]

O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor, mede:

(A) 120
(B) 135
(C) 140
(D) 144
(E) 150

[VALDECIRTOZZI]

O número de diagonais [tex3]d[/tex3] de um plígono de [tex3]n[/tex3] lados é dado por:

[tex3]d=\frac{n \cdot (n-3)}{2}[/tex3]

Temos que:

[tex3]d_1+d_2=41[/tex3] e que [tex3]n_1=n_2+2[/tex3]
[tex3]\frac{n_1 \cdot (n_1-3)}{2}+\frac{n_2 \cdot (n_2-3)}{2}=41[/tex3]
[tex3]\frac{(n_2+2) \cdot (n_2+2-3)}{2}+\frac{n_2 \cdot (n_2-3)}{2}=41[/tex3]
[tex3]\frac{(n_2+2) \cdot (n_2-1)}{2}+\frac{n_2 \cdot (n_2-3)}{2}=41[/tex3]
[tex3]n_2^2-n_2+2n_2-2+n_2^2-3n_2=82[/tex3]
[tex3]2n_2^2-2n_2-84=0[/tex3]
[tex3]n_2^2-n^2-42=0[/tex3]

Resolvendo e equação de 2º grau, obtemos

[tex3]n_2=7[/tex3] ou n_2=-6 (que não vale)

Portanto o polígono [tex3]n_2[/tex3] tem 7 lados e é um heptágono e o polígono [tex3]n_1[/tex3] tem 9 lados e é um eneágono.

O eneágono tem o menor ângulo central: [tex3]\frac{360^o}{9}=40^0[/tex3] e a soma de seus ãngulos internos é dada por:

[tex3]S_9=(n-2) \cdot 180=[/tex3]:
[tex3]S_9=(9-2) \cdot 180=1260^0[/tex3]

Portanto, cada ângulo intreno mede:

[tex3]\frac{1260}{9}=140^0[/tex3]

Espero ter ajudado!