IME / ITA ⇒ (CPACN - 1983) Área

[bravoalpha]

A área do segmento circular determinado por uma corda de [tex3]6 \sqrt{3} cm[/tex3] e sua fecha de [tex3]3 cm[/tex3] é :
(A) [tex3](12\pi+9\sqrt{3}) cm^2[/tex3]
(B) [tex3](12\pi-9\sqrt{3}) cm^2[/tex3]
(C) [tex3](12\pi+3\sqrt{3}) cm^2[/tex3]
(D) [tex3](12\pi-3\sqrt{3}) cm^2[/tex3]
(E) [tex3](12\pi-6\sqrt{3}) cm^2[/tex3]

[VALDECIRTOZZI]

Considere a figura:

Segmento circular.jpg (39.33 KiB) Exibido 771 vezes

O [tex3]\Delta OMB[/tex3] é retângulo em [tex3]B[/tex3]. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
[tex3]\left(\overline{OB}\right)^2=\left(\overline{OM}\right)^2+\left(\overline{MB}\right)^2[/tex3]
[tex3]r^2=\left(3\sqrt3\right)^2+3^2[/tex3]
[tex3]r^2=36[/tex3]
[tex3]r=6 \ cm[/tex3]

No mesmo triângulo temos:
[tex3]\tan\theta =\frac{\overline{MB}}{\overline{BM}}[/tex3]
[tex3]\tan \theta =\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3[/tex3]
[tex3]\theta=60^0[/tex3]

A área do setor circular [tex3]BOA[/tex3], cujo ãngulo central é [tex3]2\theta =120^o[/tex3] será:
[tex3]A_{setor \ circular}=\frac{2\theta \cdot \pi \cdot r^2}{360^0}=\frac{120^0 \cdot \pi \cdot 6^2}{360^0} =12\pi \ cm^2[/tex3]

A área do triângulo [tex3]ABO[/tex3] será:
[tex3]A_{triangulo}=\frac{6\sqrt3 \cdot 3}{2}=9\sqrt3 \ cm^2[/tex3]

Area do segmento será dada por:
[tex3]A_{segmento}=A_{setor \ circular}-A_{triangulo}=12\pi -9\sqrt3 \ cm ^2[/tex3]

Espero ter ajudado!