Maratonas de Matemática ⇒ IV Maratona de Matemática IME/ITA

[FilipeCaceres]

Para todos aqueles que almejam uma vaga no IME/ITA o fórum TutorBrasil lança a quarta temporada da maratona de exercícios para fazer seu estudo andar mais rápido!

As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.

1) O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva do IME ou do ITA.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui.
4) Todas questão deverão ser da CN,EFOMM,AFA,EN,IME,ITA de preferência com o ano.
5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o fórum IME/ITA, disponibilizando para que seja postada uma nova.
7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
8 ) Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.

Atenção: Todos os problemas que forem dissertativas deverão obrigatoriamente apresentar o gabarito. Utilize a tag spoiler para colocar a resposta.

Veja a I Maratona de Matemática IME/ITA: caju.tv/maratmat
Veja a II Maratona de Matemática IME/ITA: caju.tv/maratmat2
Veja a II Maratona de Matemática IME/ITA: caju.tv/maratmat3

**Veja como devemos proceder.**

Problema 1
(Questão acompanhado do ano)Escreva a questão

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito[/spoiler]

Quem for resolver deverá escrever:
Solução do Problema 1

Descrever a solução

---

Problema 2
(Questão acompanhado do ano) Escreva a questão.

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito[/spoiler]

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Problema 1

(IME - 2014) Qual é o menor número?

a) [tex3]\pi \cdot 8![/tex3]
b) [tex3]9^9[/tex3]
c) [tex3]{{2^2}^2}^2[/tex3]
d) [tex3]{3^3}^3[/tex3]
e) [tex3]2^{13}\cdot 5^3[/tex3]

Resposta

---

Letra C

[Auto Excluído (ID:12031)]

Solução do Problema 1 (com correção de um erro apontado pelo usuário lellouch)

Das alternativas concluímos que [tex3]d>b[/tex3], [tex3]e>c[/tex3], [tex3]b>c[/tex3] sobrando [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

Para [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3], fazemos as seguintes contas:

[tex3]2^{16} = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2[/tex3]
[tex3]2^{16} = 8 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2[/tex3]
[tex3]\frac{2^{16}}{8!} = \frac{ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 }{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3 }[/tex3]
[tex3]\frac{2^{16}}{8!} = \frac{1024}{630} < 2 < \pi[/tex3]

Daí vem que [tex3]c<a[/tex3].

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Problema 2

(IME - 2014) resolver o sistema de equações: [tex3]\begin{cases}\sqrt{x}- \sqrt{y} = \log_3\frac{y}{x} \\ 2^{x+2} + 8^{x} = 5\cdot 4^y\end{cases}[/tex3]

Resposta

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x=y=2

[PedroCunha]

Solução do problema 2

Condições de existência:

[tex3]x > 0, y > 0[/tex3]

Da primeira equação do sistema:

[tex3]\sqrt{x} - \sqrt{y} = \log_3 \frac{y}{x} \therefore \sqrt{x} - \sqrt{y} = \log_3 y - \log_3 x \therefore \sqrt{x} + \log_3 x = \sqrt{y} + \log_3 y \\ \Leftrightarrow x = y*[/tex3]

Na segunda equação:

[tex3]2^{x+2} + 8^x = 5 \cdot 4^y \therefore 2^x \cdot 4 + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x} \Leftrightarrow 2^x = k, k > 0: 4k + k^3 = 5k^2 \therefore \\ k^3 - 5k^2 + 4k = 0 \therefore k \cdot (k^2 - 5k + 4) = 0 \Leftrightarrow \cancel{k = 0} \text{ ou } k = 4 \text{ ou } k = 1[/tex3]

Assim, as soluções são os pares ordenados [tex3](2,2)[/tex3] e [tex3](0,0)[/tex3]. No entanto, devido às C.E., ficamos apenas com a solução [tex3]x = y = 2[/tex3].

*

Demonstração

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Se [tex3]x > y[/tex3]:

[tex3]\begin{cases} \sqrt{x} > \sqrt{y} \\ 0 < \frac{y}{x} < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} > 0 \\ \log_3 \frac{y}{x} < 0 \end{cases}[/tex3]

Absurdo.

Se [tex3]x < y[/tex3]:

[tex3]\begin{cases} \sqrt{x} < \sqrt{y} \\ \frac{y}{x} > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} < 0 \\ \log_3 \frac{y}{x} > 0 \end{cases}[/tex3]

Absurdo.

Se [tex3]x = y, x \in \mathbb{R}^*[/tex3]:

[tex3]\begin{cases}

\sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{x} - \sqrt{x} = 0 \\\\
\log_3 \frac{y}{x} = \log_3 1 = 0

\end{cases}[/tex3]

Ok.

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Problema 3

(IME-RJ-2007) Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãos, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é:
a) 288
b) 455
c) 480
d) 910
e) 960

Resposta

---

Alternativa d

[MJ14]

Solução do Problema 3

OBS: Uma boa ideia para problemas desse tipo é pensar no total de possibilidade menos as restrições.

Total de possibilidades:
[tex3]C_{9}^{2}\times C_{7}^{3}\times C_{4}^{4}=1260[/tex3]

Restrições:
As restrições se dividem em 3 casos:
Caso 01: Os irmãos estarem juntos na primeira equipe.
[tex3]C_{2}^{2}\times C_{7}^{3}\times C_{4}^{4}=35[/tex3]

Caso 02: Os irmãos estarem juntos na segunda equipe.
[tex3]C_{7}^{2}\times C_{5}^{1}\times C_{4}^{4}=105[/tex3]

Caso 03: Os irmãos estarem juntos na terceira equipe.
[tex3]C_{7}^{2}\times C_{5}^{3}\times C_{2}^{2}=210[/tex3]

Logo:
[tex3]\text{total}-\text{restrições}=1260-(35+105+210)=1260-350=910[/tex3]

---

Problema 4

(ITA-92) Num triângulo [tex3]ABC[/tex3], retângulo em [tex3]A[/tex3] , temos [tex3]B = 60^o[/tex3]. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D. Se o segmento de reta BD mede 1 cm , então a hipotenusa mede:

a) [tex3]\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3] cm
b) [tex3]1+\sqrt{3}[/tex3] cm
c) [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3] cm
d) [tex3]1+2\sqrt{2}[/tex3] cm
e) [tex3]\text{N.D.A}[/tex3]

Resposta

---

Letra B

[PedroCunha]

Solução do problema 4

Temos um triângulo [tex3]30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}[/tex3]. Colocando as informações em um desenho:

ita.png (12.7 KiB) Exibido 16000 vezes

Lei dos Senos no triângulo [tex3]ADB[/tex3]:

[tex3]\frac{1}{\sen 45^{\circ}} = \frac{k}{\sen 105^{\circ}} \therefore \frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{k\sqrt2}{2} \therefore 1+\sqrt3 = 2k \therefore k = \frac{1+\sqrt3}{2} \,\, cm[/tex3]

*Para encontrar o seno de 105° basta aplicar a fórmula do arco soma*

Aplicando a relação do seno no triângulo [tex3]ABC[/tex3]:

[tex3]\sen 30^{\circ} = \frac{k}{a} \therefore a \cdot \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt3}{2} \therefore a =1+\sqrt3 \,\, cm[/tex3]

Alternativa B.

---

Problema 5

(IME - 2013) Os polinômios [tex3]P(x) = x^3 + ax^2 + 18[/tex3] e [tex3]Q(x) = x^3+bx+12[/tex3] possuem duas raízes comuns. Sabendo que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação

a) [tex3]a = b[/tex3]
b) [tex3]2a = b[/tex3]
c) [tex3]a = 2b[/tex3]
d) [tex3]2a = 3b[/tex3]
e) [tex3]3a = 2b[/tex3]

Resposta

---

Alternativa b

[poti]

Solução do Problema 5

Sejam [tex3]x_1, x_2[/tex3] as raízes comuns e [tex3]y_p, y_q[/tex3] as raízes diferentes. Por Girard:

[tex3]y_p + x_1 + x_2 = -a[/tex3]
[tex3]y_q + x_1 + x_2 = 0[/tex3]

[tex3]y_p \cdot x_1 + y_p \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 = 0[/tex3]
[tex3]y_q \cdot x_1 + y_q \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 = b[/tex3]

[tex3]y_p \cdot x_1 \cdot x_2 = -18[/tex3]
[tex3]y_q \cdot x_1 \cdot x_2 = -12[/tex3]

Das duas primeiras:

[tex3]y_q = a + y_p[/tex3] (I)

Das duas últimas:

[tex3]\frac{y_p}{y_q} = \frac{3}{2}[/tex3] (II)

Usando (I) em (II):

[tex3]\frac{y_p}{y_p + a} = \frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]2y_p = 3y_p + 3a[/tex3]

[tex3]y_p = -3a[/tex3]

Como [tex3]P(y_p) = 0[/tex3], temos:

[tex3]P(-3a) = -27a^3 + 9a^3 + 18 = 0[/tex3]

[tex3]18a^3 = 18[/tex3]

[tex3]\boxed{a = 1}[/tex3]

Usando (II) de novo:

[tex3]y_q = -2[/tex3]

[tex3]Q(-2) = -8 - 2b + 12 = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{b = 2}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow \boxed{b = 2a}[/tex3]

Letra B

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Problema 6

(AFA - 2000) O sistema [tex3]\begin{cases}
|x + y| = a \\
x - by = -a
\end{cases}[/tex3] é indeterminado quando

a) [tex3]ab = -1[/tex3]
b) [tex3]ab - 1 = -1[/tex3]
c) [tex3]a + b = -1[/tex3]
d) [tex3]a - b = -1[/tex3]

Resposta

---

c

[poti]

Vou responder para tentar reavivar o tópico.

Solução do Problema 6

Somando as duas equações, ficamos com:
[tex3]|x+y| = by - x[/tex3] (I)

Só existem duas possibilidades para [tex3]|x+y|[/tex3], que são:
[tex3]|x+y| = \pm (x+y)[/tex3]

Então, por exclusão, precisamos ter em (I) a seguinte condição para [tex3]b[/tex3]:

[tex3]-x + by = -x - y \Rightarrow \boxed{b = -1}[/tex3]

Reescrevendo o sistema:

[tex3]\begin{cases}|x + y| = a \\ x + y = -a\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x+y = a \\
x+y = -a \\
x+y = -a
\end{cases}[/tex3]

Só satisfaz: [tex3]\boxed{a = 0}[/tex3]

[tex3]a = 0 \ \wedge \ b = -1 \Rightarrow \boxed{a + b = - 1}[/tex3]

---

Problema 7

(AFA - 2001) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 27. Um dos possíveis valores do quadrado da soma desses dois números é:

a) 529
b) 625
c) 729
d) 841

Resposta

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c

[PedroCunha]

Solução do problema 7

Do enunciado:

[tex3]a^2-b^2 = 27 \therefore (a+b) \cdot (a-b) = 27[/tex3]

Fatorando o 27 como o produto de dois números inteiros e positivos, temos as seguintes possibilidades:

[tex3](a+b) \cdot (a-b) = 9 \cdot 3 \Leftrightarrow a+b = 9, a-b = 3 \Leftrightarrow a = 6, b = 3 \\\\ \text{ ou } \\\\
(a+b) \cdot (a-b) = 3 \cdot 9 \Leftrightarrow a+b = 3, a-b = 9 \Leftrightarrow a = 6, b = -3 \\\\ \text{ ou } \\\\
(a+b) \cdot (a-b) = 27 \cdot 1 \Leftrightarrow a+b = 27, a-b = 1 \Leftrightarrow a =14, b = 13 \\\\ \text{ ou } \\\\
(a+b) \cdot (a-b) = 1 \cdot 27 \Leftrightarrow a+b = 1, a-b = 27 \Leftrightarrow a =14, b = -13[/tex3]

Somente a primeira e a terceira possibilidade satisfazem a condição inicial [tex3]a,b \in \mathbb{N}[/tex3]. Assim, os possíveis valores dos quadrados das soma de cada um deles são:

[tex3]\circ (6+3)^2 = 81 \\ \circ (14+13)^2 = 729[/tex3]

Alternativa c

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Problema 8

(ITA - 2007) Determine quantos números de 3 algarismos formados com [tex3]1[/tex3], [tex3]2[/tex3], [tex3]3[/tex3], [tex3]4[/tex3], [tex3]5[/tex3], [tex3]6[/tex3] e [tex3]7[/tex3], satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com [tex3]1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3], caso em que o [tex3]7[/tex3] (e apenas o [tex3]7[/tex3]) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido.

a) 204
b) 206
c) 208
d) 210
e) 212

Resposta

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Alternativa e

[lellouch]

Solução do problema 8

Dividindo em 5 casos para facilitar:

1) Não começa nem com 1 ou 2:
Temos 5 opções pra o primeiro digito, 6 para o segundo e 5 para o terceiro.
Totalizando 150 números.

2) Começando com 1 e o segundo não sendo 7:
Temos 1 opção para o primeiro digito, 5 para o segundo e 5 para o terceiro.
Totalizando 25 números.

3) Começando com 1 e sendo o segundo o 7:
Temos 1 opção para o primeiro digito, 1 para o segundo e 6 para o terceiro.
Totalizando 6 números.

4) Começando com 2 e o segundo não sendo 7:
Temos 1 opção para o primeiro digito, 5 para o segundo e 5 para o terceiro.
Totalizando 25 números.

5) Começando com 2 e sendo segundo o 7:
Temos 1 opção para o primeiro digito, 1 para o segundo e 6 para o terceiro.
Totalizando 6 números.

Conclusão, teremos 150+25+6+25+6=212 números diferentes
Letra E.

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Problema 9:

(IME-2012) Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto estacionou sua aeronave em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e 12. Após estacionar, o piloto observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronava estacionou. Determine a probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias.

vagas.PNG (2.49 KiB) Exibido 15864 vezes

a) [tex3]\frac{1}{55}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{55}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{55}[/tex3]
d) [tex3]\frac{4}{55}[/tex3]
e) [tex3]\frac{6}{55}[/tex3]

Resposta

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E

[MJ14]

Solução do Problema 9

Sendo a probabilidade [tex3]P(X)=\frac{P(B)}{P(A)}[/tex3] temos a seguinte conclusão:
Fixando o piloto em uma das vagas, temos que permutar as outras 11 vagas, sabendo que 7 delas estão ocupadas e 4 não estão.

[tex3]P(A) = \frac{11!}{7!4!}=330[/tex3]

Além disso, temos que fixar duas vagas não ocupadas ao lado da vaga do piloto. Para isso temos 9 vagas restantes, onde 2 estão vazias e 7 estão ocupadas.

[tex3]P(B)= \frac{9!}{2!7!}=36[/tex3]

Logo podemos concluir que:

[tex3]P(X)= \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{36}{330} = \frac{6}{55}[/tex3]

Resp.: Letra E

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Problema 10

(IME) Simplifique a função: [tex3]f(x) = \frac{\text{sen}^3(x-270^o)\cos(360^o-x)}{\tan^3(x-90^o)\cos^3(x-270^o)}[/tex3]

Resposta

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[tex3]f(x)=\cos x[/tex3], para todo [tex3]x\neq \frac{k\pi}{2}[/tex3], com [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3]