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Determine a medida da menor diagonal de um paralelogramo de lados [tex3]1[/tex3] e [tex3]\sqrt{3}[/tex3], sabendo que dois de seus ângulos diferem de [tex3]120^{o}[/tex3].

Em um paralelogramo, os ângulos opostos possuem a mesma medida e a soma de dois ângulos adjacentes é igual a [tex3]180^\circ[/tex3].

Logo, sendo [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\alpha+120^\circ[/tex3] as medidas dos ângulos do paralelogramo dado, temos que:

[tex3]\alpha+(\alpha+120^\circ)=180^\circ\rightarrow\alpha=30^\circ[/tex3]

Em um paralelogramo, os extremos da diagonal menor correspondem aos vértices de maior ângulo. Assim, ao traçarmos a diagonal menor [tex3]d[/tex3] do polígono em questão, formamos um triângulo cujo vértice oposto a ela mede [tex3]30^\circ[/tex3] e de lados que medem [tex3]1[/tex3] e [tex3]\sqrt{3}[/tex3].

Pela Lei dos Cossenos:

[tex3]d^2=1^2+\sqrt{3}^2-2\cdot1\cdot\sqrt{3}\cdot\cos30^\circ\rightarrow d=1[/tex3]