Ensino Médio ⇒ Interpolação geométrica Tópico resolvido

[marguiene]

Quantos meios geométricos devemos interpolar entre 2/3 e 32/243 para obtermos uma pg de razão √6/3?

[VALDECIRTOZZI]

O termo geral de uma PG é dado por:
[tex3]a_n=a_1 \cdot q^{n-1}[/tex3]

[tex3]\frac{32}{243}=\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^{n-1}[/tex3]
[tex3]\frac{16}{81}=\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^{n-1}[/tex3]
[tex3]\frac{2^4}{3^4}=\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^{n-1}[/tex3]
[tex3]\frac{2^4}{3^4}=\frac{6^{\frac{n-1}{2}}}{3^{n-1}}[/tex3]
[tex3]\frac{2^4}{3^4}=\frac{6^{\frac{n}{2}}}{6^\frac{1}{2}}\cdot \frac{3^1}{3^n}[/tex3]
[tex3]\frac{2^4}{3^4}=\frac{2^{\frac{n}{2}}\cdot 3^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{3^1}{3^n}[/tex3]
[tex3]\frac{2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^4 \cdot 3^1}=\frac{2^{\frac{n}{2}}\cdot 3^{\frac{n}{2}}}{3^n}[/tex3]
[tex3]\frac{2^{\frac{9}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^5}=2^{\frac{n}{2}}\cdot 3^{-\frac{n}{2}}[/tex3]
[tex3]2^{\frac{9}{2}}\cdot 3^{-\frac{9}{2}}=2^{\frac{n}{2}}\cdot 3^{-\frac{n}{2}}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{9}{2}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{n}{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{9}{2}=\frac{n}{2}[/tex3]
[tex3]n=9[/tex3]

Portante a sequência possui nove termos e temos que interpolar [tex3]9-2=7[/tex3] termos.

Espero ter ajudado!