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Quando um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] é dividido por [tex3](x-2)[/tex3], tem resto igual a [tex3]3[/tex3], e quando é dividido por [tex3](x + 3)[/tex3], tem resto igual a [tex3]-2[/tex3]. O resto da divisão do polinômio [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x- 2).(x + 3)[/tex3] é:

A) [tex3]-2x + 3[/tex3].
B) [tex3]x + 1[/tex3].
C) [tex3]2x + 1[/tex3].
D) [tex3]x-2[/tex3].
E) [tex3]3x + 2[/tex3].

Olá,

Pelo teorema do resto:

[tex3]\begin{cases}
p(2)=3 \\
p(-3)=-2
\end{cases}[/tex3]

Como [tex3](x- 2).(x + 3)[/tex3] tem grau 2, a divisão de p(x) por [tex3](x- 2).(x + 3)[/tex3] terá grau 1 ou 0, chamaremos esse resto de [tex3]ax+b[/tex3] :

[tex3]p(x) = q(x).(x- 2).(x + 3)+ax+b[/tex3]

[tex3]p(-3) = q(-3).(-3- 2).(-3 + 3)-3a+b[/tex3]

[tex3]-2 = -3a+b[/tex3]

também temos:

[tex3]p(x) = q(x).(x- 2).(x + 3)+ax+b[/tex3]

[tex3]p(2) = q(2).(2- 2).(2 + 3)+2a+b[/tex3]

[tex3]3 = 2a+b[/tex3]

resolvendo o sistema:

[tex3]\begin{cases}
-2 = -3a+b \\
3 = 2a+b
\end{cases}[/tex3]

B) [tex3]x + 1[/tex3]