Pré-Vestibular ⇒ Matemática - Divisores e múltiplos 4

[acs]

Alguém poderia me ajudar na resolução do seguinte exercício?

4º) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria 1 ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobrariam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto?
Resposta: 7

Desde já obrigada!

[Natan]

Vamos lá?

Seja x o número de ações, quando dividimos x por 3 temos resto 1 e quociente [tex3]q_1[/tex3] então x tem a forma [tex3]x=3q_1+1[/tex3] (I).

Quando dividimos x por 4 temos resto 3 e quociente [tex3]q_2[/tex3], então x também tem a forma [tex3]x=4q_2+3[/tex3] (II).

Como x é um número entre 30 e 40 e [tex3]4q_2+3[/tex3] representa x podemos escrever:

[tex3]40\gt 4q_2+3 \gt30[/tex3]

[tex3]37\gt 4q_2 \gt27[/tex3]

[tex3]9,25\gt q_2 \gt6,27[/tex3] Como [tex3]q_1[/tex3] e [tex3]q_2[/tex3] são números inteiros sabemos agora que [tex3]q_2[/tex3] é maior ou igual a 7 ou menor ou igual a 9.

Como (I) e (II) representam x, podemos iguala-las e teremos:

[tex3]3q_1+1=4q_2+3[/tex3] Daí

[tex3]q_1=\frac{4q_2+2}{3}[/tex3]

Ora [tex3]q_1[/tex3] e [tex3]q_2[/tex3] são inteiros, sabendo que [tex3]q_2[/tex3] varia entre 7 e 9, temos que verificar qual dessas possibilidades torna [tex3]q_1[/tex3] também inteiro, assim vemos que o único valor possível para [tex3]q_2[/tex3] é 7, assim achamos também o valor de [tex3]q_1=10[/tex3]. Agora que temos os valores de [tex3]q_1[/tex3] e [tex3]q_2[/tex3] podemos substiuílos em (I) ou em (II) para descobrir x, que vale 31.

A questão pede quantas ações receberam cada um dos 4 netos, se temos 31 ações basta fazer a divisão: [tex3]\frac{31}{4}=7,75[/tex3], ou seja, cada neto recebeu 7 ações.