Pré-Vestibular ⇒ (Facamp-2015) Números Complexos Tópico resolvido

[gabemreis]

Considere a função de segundo grau [tex3]f(x)=8x^2+16[cos\alpha+cos(2\alpha)]x + k[/tex3], sendo [tex3]k[/tex3] uma constante real. Encontre todos os valores possíveis para [tex3]cos\alpha[/tex3], sabendo que o número complexo [tex3]\frac{5}{8}+\frac{3}{2}i[/tex3] é solução da equação [tex3]f(x)=0[/tex3].

[Ittalo25MOD]

Se k é real, então [tex3]\frac{5}{8}-\frac{3}{2}i[/tex3] também é raiz:

[tex3]8.((\frac{5}{8}+\frac{3}{2}i)^2-(\frac{5}{8}-\frac{3}{2}i)^2)=(16cos(\alpha)+16cos(2\alpha)).((\frac{5}{8}-\frac{3}{2}i)-(\frac{5}{8}+\frac{3}{2}i))[/tex3]

[tex3]8.((\frac{5}{8}+\frac{3}{2}i)^2-(\frac{5}{8}-\frac{3}{2}i)^2)=(16cos(\alpha)+16cos(2\alpha)).(-3i)[/tex3]

[tex3]30i=(16cos(\alpha)+16cos(2\alpha)).(-3i)[/tex3]

[tex3]-\frac{5}{8}=cos(\alpha)+cos(2\alpha)[/tex3]

[tex3]-\frac{5}{8}=cos(\alpha)+cos^2(\alpha)-sen^2(\alpha)[/tex3]

[tex3]0=8cos(\alpha)-3+16cos^2(\alpha)[/tex3]

Portanto:

[tex3]\begin{cases}
cos(\alpha)=\frac{1}{4} \\
cos(\alpha)=-\frac{3}{4}
\end{cases}[/tex3]

[PedroCunha]

Olá, amigos.

Outra maneira:

pelas Relações de Girard:

[tex3]\left( \frac{5}{8} + \frac{3}{2} i \right) + \left( \frac{5}{8} - \frac{3}{2} i \right) = -\frac{16 \cdot (\cos \alpha + \cos (2\alpha))}{8} \therefore \\\\ \frac{5}{8} = - (\cos \alpha + 2\cos^2\alpha - 1) \therefore 16\cos^2 \alpha + 8\cos \alpha - 3 = 0 \\\\ \cos \alpha = \frac{-8 \pm 16}{32} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{4} \hspace{15mm} \wedge \hspace{15mm} \cos \alpha = -\frac{3}{4}[/tex3]

Att.,
Pedro