Pré-Vestibular ⇒ (SUPREMA 2012) Conjuntos

[lmarcondes]

Em uma cidade 20% das casas que têm televisores (pelo menos um) também têm DVD e 25% das casas que tem DVD também têm televisores. Considerando-se que 20% das casa não têm televisor nem DVD, pode-se afirmar que o percentual das casas que possuem ambos aparelhos é de:
R:10%

[csmarceloMOD]

[tex3]T[/tex3] = conjunto das casas que possuem televisores
[tex3]D[/tex3] = conjunto das casas que possuem DVD

...20% das casas que têm televisores (pelo menos um) também têm DVD...

Ou seja, [tex3]n(T\cap D)=\frac{n(T)}{5}\ (I)[/tex3]

...25% das casas que tem DVD também têm televisores.

Ou seja, [tex3]n(T\cap D)=\frac{n(D)}{4}\ (II)[/tex3]

De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que

[tex3]\frac{n(T)}{5}=\frac{n(D)}{4}\rightarrow n(T)=\frac{5n(D)}{4}\ (III)[/tex3]

Da Teoria dos Conjuntos, sabemos que

[tex3]n(T\cup D)=n(T)+n(D)-n(T\cap D)[/tex3]

Proporcionalmente falando, considerando [tex3]T\cup D[/tex3] como nosso universo,

[tex3]n(T)+n(D)-n(T\cap D)=1[/tex3]

Substituindo,

[tex3]\underbrace{\frac{5n(D)}{4}}_{(III)}+n(D)-\underbrace{\frac{n(D)}{4}}_{(II)}=1\rightarrow n(D)=\frac{1}{2}\rightarrow n(T\cap D)=\frac{\frac{1}{2}}{4}=\frac{1}{8}[/tex3]

Concluímos que [tex3]n(T\cap D)[/tex3] equivale à [tex3]\frac{1}{8}[/tex3] de [tex3]n(T\cup D)[/tex3], mas queremos saber o percentual em relação à [tex3]U[/tex3].

Considerando-se que 20% das casa não têm televisor nem DVD...

Ou seja, [tex3]n(T\cup D)^c=\frac{n(U)}{5}\rightarrow n(T\cup D)=\frac{4n(U)}{5}\rightarrow n(T\cap D)=\frac{1}{8}\cdot\frac{4n(U)}{5}=\frac{n(U)}{10}[/tex3]