Olimpíadas ⇒ (Hong Kong) - Numeros complexos Tópico resolvido

[Ardovino]

Se (x;y) representa um par de numero real que satisfaz o sistema abaixo:

[tex3]56x + 33y = -y/(x^2 + y^2)[/tex3]
[tex3]33x - 56y = x/(x^2 + y^2)[/tex3]


Então o valor numérico de |x| + |y| é igual a:

a)7/65
b)8/65
c)9/65
d)10/65
e)11/65

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A unica coisa que eu percebi foi que:
Sendo (a;b) um numero complexo
[tex3](x;y)*(56;33) = (33x-56y;56x+33y) = (x/(x^2 + y^2);-y/(x^2 + y^2))[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

você percebeu a parte mais interessante,só com um pequeno erro é (33,56) não (56,33) só faltou terminar:

Seja:

[tex3]z = x+iy[/tex3]
temos que
[tex3]z(33+56i) = \frac{\bar{z}}{|z|^2}[/tex3]
lembre da seguinte propriedade fundamental:
[tex3]z\bar{z} = |z|^2[/tex3]
[tex3]z(33+56i) = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}}[/tex3]
[tex3]z(33+56i) = \frac{1}{z}[/tex3]
[tex3]z^2(33+56i) = 1[/tex3]
[tex3]z^2 = \frac{1}{33+56i}[/tex3]
[tex3]z^2 = \frac{33-56i}{56^2+33^2}[/tex3]
[tex3]z^2 = \frac{33-56i}{65^2}[/tex3]

dai é só tirar a raíz quadrada do número complexo acima que vc tem o x e o y
ou resolver
[tex3]x^2 - y^2 = \frac{33}{65^2}[/tex3]
[tex3]2xy = -\frac{56}{65^2}[/tex3]
[tex3]4y^2(\frac{33}{65^2}+y^2)= \frac{56^2}{65^4}[/tex3]
[tex3]4y^4 + 4y^2\frac{33}{65^2} - \frac{56^2}{65^4} = 0[/tex3]
[tex3]y^4 + y^2\frac{33}{65^2} - \frac{56^2}{4\cdot65^4}=0[/tex3]
[tex3](y^2+\frac{33}{2\cdot 65^2})^2-\frac{56^2 + 33^2}{4\cdot 65^4} =0[/tex3]
[tex3](y^2+\frac{33}{2\cdot 65^2})^2 = \frac{1}{4\cdot 65^2}[/tex3]
[tex3]y^2+\frac{33}{2\cdot 65^2} = \frac{1}{2\cdot 65}[/tex3]
[tex3]y^2 = \frac{1}{2\cdot 65} - \frac{33}{2\cdot 65^2}[/tex3]
[tex3]y^2 = \frac{65}{2\cdot 65^2} - \frac{33}{2\cdot65^2}[/tex3]
[tex3]y^2 = \frac{65 - 33}{2\cdot 65^2}[/tex3]
[tex3]y^2 = \frac{32}{2\cdot 65^2}[/tex3]
[tex3]|y| = \frac{4}{65}[/tex3]
[tex3]|x| = \frac{7}{65}[/tex3]
a soma dos dois da [tex3]\frac{11}{65}[/tex3] letra E