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Como consigo provar a seguinte relação de euler:

[tex3]e^{i\theta } = \cos \theta + i \sen \theta[/tex3]

Olá garciax,

Uma maneira de mostrar, seria usando a serie de MacLaurin para o cosseno e seno.
[tex3]\sen x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots[/tex3]
Para obter a expansão para cosseno, basta fazer [tex3]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sen x=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}[/tex3].
[tex3]\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots[/tex3]
[tex3]e^t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots[/tex3]

Faça [tex3]t=ix[/tex3]
[tex3]e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots[/tex3]
Agupando a parte imaginária e a real.
[tex3]e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right)[/tex3]
Observe com o que se assemelhou a nova serie.
[tex3]\therefore \boxed{e^{ix}=\cos x +i \sen x}[/tex3]

Euler também mostrou que, para [tex3]x= \pi[/tex3]
[tex3]e^{i\pi}=\cos \pi +i \sen \pi=-1+0[/tex3]
[tex3]e^{i\pi}+1=0[/tex3]
Isso é muito útil em resolver equações, identidades trigonométricas etc ...

Há várias demonstrações para esse problema, essa seria uma versão.
Abraço !

OBS : Faça:[tex3]e^{i(-x)}=\cos (-x) -i \sen (-x) =\cos x - i \sen x[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
e^{ix}=\cos x +i \sen x \\
e^{-ix}=\cos x - i \sen x
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex3]

Obrigada!