Ensino Médio ⇒ Semelhança de triângulo

[ALANSILVA]

Em um triângulo ABC, os pontos D, E e F estão sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente, tais que ∠AFE=∠BFD, ∠BDF=∠CDE e ∠CED=∠AEF.

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a) Prove que ∠BDF=∠BAC.
b) Se AB=5, BC=8 e CA=7, determine o comprimento de BD.

Sem gabarito!!!

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o triângulo menor é o triângulo órtico do triângulo maior ou seja seus vértices são os encontros das alturas de ABC com os lados do mesmo.

Temos que

[tex3]cos(B) = \frac{BD}{AB}[/tex3]

pela lei dos cossenos:

[tex3]AC^2 = BA^2 + BC^2 - 2BA\cdot BC \cdot cos(B)[/tex3]
[tex3]49 = 25 + 64 - 80cos(B)[/tex3]
[tex3]80cos(B) = 40[/tex3]
[tex3]cos(B) = \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]BD = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2}[/tex3]

Na letra a é só resolver o sistema:
∠AFE + ∠BAC + ∠AEF = 180 <=> ∠AFE + ∠BAC + ∠AEC = 180
∠BFD + ∠BDF + ∠ABC = 180 <=> ∠AFE + ∠BDF + ∠ABC = 180
∠BDF + ∠ABC = ∠BAC + ∠AEC = ∠BAC + ∠CED = ∠BAC + 180 - ∠ACB - ∠EDC = ∠BAC + 180 - ∠ACB - ∠BDF
2∠BDF = ∠BAC + 180 - ∠ACB - ∠ABC = ∠BAC + ∠BAC = 2∠BAC
∠BDF = ∠BAC