Concursos Públicos ⇒ Soldado Bombeiro MG 2013 - Logaritmos

[alansouza87]

Para todos os números reais X e Y é correto afirmar que:

a) [tex3]\log x^2 = 2 \log x[/tex3]
b) [tex3]\log(xy) = \log x + \log y[/tex3]
c) [tex3]\log(2+x^2)^2 = 2 \log(2+x^2)[/tex3]
d) [tex3]\log \frac{x}{y} = \log x - \log y[/tex3]

(Gostaria de saber qual dessas opções é a correta, pois, ao meu ver, todas estão certas, de acordo com o gabarito a alternativa correta é a letra C).desde já agradeço.

[LucasPinafiMOD]

Boa noite.
Repare bem que a questão deixa bem clara que os números x e y são reais.
A função [tex3]f(x) =\log_ax[/tex3] é definida para [tex3]a>0, a \neq 1[/tex3] e [tex3]x>a[/tex3]
Vamos analisar cada alternativa:
(a) [tex3]\log x^2=2 \log x[/tex3] se e somente se [tex3]x>0[/tex3].
(b) [tex3]\log(xy)=\log(x)+\log(y)[/tex3] se e somente se [tex3]x>0[/tex3] e [tex3]y>0[/tex3]
(c) [tex3]\log(2+x^2)^2[/tex3]
Observe que para todo [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3], [tex3]2+x^2>0[/tex3]. Então:
[tex3]\log(2+x^2)^2=2\log(2+x^2) \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]
(d) [tex3]\log(x/y)=\log(x)-\log(y)[/tex3] se e somente se [tex3]x>0,y>0[/tex3]
A alternativa correta é a letra c.
Qualquer dúvida é só falar (:

[alansouza87]

Muito obrigado Lucas. Excelente explicação!! Continue assim.