Ensino Médio ⇒ Fatoração Tópico resolvido

[giovane]

Sabendo que [tex3]\frac{x}{y-z} + \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y}[/tex3] = 0, calcule [tex3]\frac{x}{(y-z)^2} + \frac{y}{(z-x)^2} + \frac{z}{(x-y)^2}[/tex3] .

a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3

Resposta

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Gabarito: letra b

[petrasMOD]

@giovane,

Da primeira equação, podemos escrever: [tex3]\frac{x}{y-z} = -\left( \frac{y}{z-x} + \frac{z}{x-y} \right)[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y-z} = -\left( \frac{y(x-y) + z(z-x)}{(z-x)(x-y)} \right)\\\\\frac{x}{y-z} = \frac{-yx + y^2 - z^2 + zx}{(z-x)(x-y)}[/tex3]
Dividindo ambos os lados por (y-z): [tex3]\frac{x}{(y-z)^2} = \frac{y^2 - z^2 + zx - yx}{(y-z)(z-x)(x-y)}\\y^2 - z^2 = (y-z)(y+z):zx - yx = -x(y-z).\\ \text{Substituindo}:\,\frac{x}{(y-z)^2} = \frac{\cancel{(y-z)}(y+z) - x\cancel{(y-z)}}{\cancel{(y-z)}(z-x)(x-y)} (y \neq z)\\\frac{x}{(y-z)^2} = \frac{y + z - x}{(z-x)(x-y)} )[/tex3]
Analogamente os outros dois termos da soma: [tex3]\frac{y}{(z-x)^2} = \frac{z + x - y}{(x-y)(y-z)}\\\frac{z}{(x-y)^2} = \frac{x + y - z}{(y-z)(z-x)}[/tex3]
Somando as três igualdades: [tex3]S = \frac{(y+z-x)(x-y) + (z+x-y)(y-z) + (x+y-z)(z-x)}{(y-z)(z-x)(x-y)}\\(y+z-x)(x-y) = xy - y^2 + zx - zy - x^2 + xy\\(z+x-y)(y-z) = zy - z^2 + xy - xz - y^2 + yz\\(x+y-z)(z-x) = xz - x^2 + yz - yx - z^2 + zx[/tex3]
Somando todos esses termos,[tex3]S = \frac{0}{(y-z)(z-x)(x-y)} = \boxed{0_{//}}[/tex3]