Estude! Com Prof. Caju

As alturas AD e BE do triangulo ABC se encontram no
ortocentro H. Os pontos medios de AB e CH são X e Y , respectivamente. Prove que XY
e perpendicular a DE.

vou abusar de alguma propriedades que podem não ser tão óbvias, qualquer dúvida pergunte.

o triângulo [tex3]\Delta CDE[/tex3] é semelhante ao [tex3]\Delta CAB[/tex3] pois

[tex3]\angle CDE = \angle CAB[/tex3]

repare agora que [tex3]Y[/tex3] é circuncentro de [tex3]\Delta CDE[/tex3] porque [tex3]YC = YD = YE[/tex3] logo a reta [tex3]CH[/tex3] é a reta que liga [tex3]C[/tex3] ao circuncentro de [tex3]CDE[/tex3]. Tomemos o circuncentro [tex3]O[/tex3] de [tex3]ABC[/tex3] e o liguemos com [tex3]C[/tex3] sabemos que as retas [tex3]OC[/tex3] e [tex3]HC[/tex3] são isogonais em relação a [tex3]C[/tex3] isso implica que [tex3]OC[/tex3] é uma altura de [tex3]CDE[/tex3] logo [tex3]OC[/tex3] é perpendicular ao lado [tex3]DE[/tex3]
como a reta [tex3]CY[/tex3] é paralela a [tex3]OC[/tex3] (pois OX é paralelo a CY e ambos tem o mesmo tamanho ) segue que [tex3]CY[/tex3] é perpendicular a [tex3]DE[/tex3]. Corolário interessante, a tangente a circunferência circunscrita a [tex3]ABC[/tex3] é uma paralela a [tex3]DE[/tex3] por [tex3]C[/tex3]