(EUA) Números Complexos

Olimpíadas ⇒ (EUA) Números Complexos Tópico resolvido

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gabrielifce Offline: Mensagens: 756; Registrado em: 07 Fev 2012, 17:19; Agradeceu: 286 vezes; Agradeceram: 52 vezes

Fev 2015 22 10:37

(EUA) Números Complexos

Mensagempor gabrielifce » 22 Fev 2015, 10:37

Mensagem por gabrielifce » 22 Fev 2015, 10:37

Seja z=a +bi um número complexo com módulo de Z=5 e b>0, tal que a distância entre (1+2i)[tex3]Z^{3}[/tex3] e [tex3]Z^{5}[/tex3] é máxima, e seja [tex3]Z^{4}[/tex3]=c+di. Então o valor numérico de c+d vale:
a)125
b)75
c)100
d)25
e)625
resp.: 125

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Incrível.

gabrielifce

Auto Excluído (ID:12031)

Fev 2015 22 10:58

Re: (EUA) Números Complexos

Mensagempor Auto Excluído (ID:12031) » 22 Fev 2015, 10:58

Mensagem por Auto Excluído (ID:12031) » 22 Fev 2015, 10:58

[tex3]|(1+2i)z^3 - z^5| = |z^3||1+2i - z^2| = 125|1+2i + (-z^2)| \leq 125(|1+2i| + |(-z)^2|) =[/tex3]
[tex3]= 125(\sqrt5 + 25)[/tex3]

o valor máximo ocorre quando [tex3]-z^2 = t(1+2i)[/tex3] com [tex3]t\in \mathbb{R}[/tex3]
aplicando módulo em todos os lados
[tex3]25 = |t|\sqrt5[/tex3]
[tex3]t = \pm 5\sqrt5[/tex3]
[tex3]z^2 = \pm 5\sqrt5(1+2i)[/tex3]

eleva tudo ao quadrado

[tex3]z^4 = 125 (1 + 4i - 4)[/tex3]
[tex3]z^4 = 125 (-3 + 4i)[/tex3]

de fato o valor numérico dá 125

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Auto Excluído (ID:12031)

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(EUA - 2002) Números complexos

Últ. msg por poti « 18 Jul 2011, 04:40
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por victoria » 15 Jul 2011, 22:22 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

victoria

Sabendo que a equação [tex3]z(z+i)(z+3i)=2002i[/tex3] é da forma [tex3]a+ bi[/tex3] tal que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais positivos e diferentes de zero. Então o valor de [tex3]a[/tex3] é igual a :

a) [tex3]\sqrt {118}[/tex3]
b)...

Últ. msg

poti

Desenvolvendo a expressão, temos:

[tex3]z^3 + 4iz^2 - 3z - 2002i = 0[/tex3]

Podemos fatorar da seguinte maneira:

[tex3](z + 14i)(z^2 - 10iz - 143) = 0[/tex3]

[tex3]{-}14i[/tex3] é uma raiz, mas não interessa pra gente. As outras raízes vão sair...
poti1victoria1: 1 Resp.; 1617 Exibições; Últ. msg por poti
18 Jul 2011, 04:40

(EUA) Números

Últ. msg por Loexdramorama « 06 Mai 2016, 14:12
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 2
por ALDRIN » 10 Mar 2016, 10:36 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

ALDRIN

Qual dos seguintes números está mais próximo de [tex3]\sqrt{65}-\sqrt{63}[/tex3]?

(A) [tex3]0,12[/tex3].
(B) [tex3]0,13[/tex3].
(C) [tex3]0,14[/tex3].
(D) [tex3]0,15[/tex3].
(E) [tex3]0,16[/tex3].

Últ. msg

Loexdramorama

Oi vai ser difícil digitar mas qualquer coisa me avisa se estiver escrito errado. Eu fiz certo no papel.

[tex3]\sqrt{65} - \sqrt{63} = \sqrt{64+1} - \sqrt{64-1}[/tex3]

[tex3]\sqrt{65} - \sqrt{63} = \sqrt{8^2 +1} - \sqrt{8^2 -1}[/tex3]...
Loexdramorama2ALDRIN1: 2 Resp.; 1399 Exibições; Últ. msg por Loexdramorama
06 Mai 2016, 14:12

EUA- 1999

Últ. msg por FilipeCaceres « 19 Jul 2011, 21:02
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por victoria » 18 Jul 2011, 10:23 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

victoria

(EUA-99)- O número de pares ordenados inteiros (m,n) tais que m.n [tex3]\geq[/tex3] 0 e [tex3]m^3 + n^3[/tex3] + 99mn= [tex3]33^3[/tex3] é igual a:

A) 2
B) 3
C) 33
D) 35
E) 99

Últ. msg

FilipeCaceres

Olá,
Relembrando a fatoração para soma ou diferença dos cubos de três variáveis
[tex3]x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac12\cdot(x+y+z)\cdot[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2][/tex3]

Fazendo [tex3]x=m[/tex3], [tex3]y=n[/tex3],[tex3]z=-33[/tex3], nós temos...
FilipeCaceres1victoria1: 1 Resp.; 967 Exibições; Últ. msg por FilipeCaceres
19 Jul 2011, 21:02

EUA

Últ. msg por Ittalo25 « 23 Mar 2016, 23:53
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por victoria » 16 Ago 2011, 17:53 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

victoria

(EUA)- Um ponto P pertence ao plano de um dado quadrado de lado L. Os vértices do quadrado são A, B, C e D, tomados no sentido anti-horário. Sejam u, v e w as distâncias de P a A, B, C. Qual a maior distância que P pode estar de D se [tex3]u^{2} + v^{2}[/tex3]...

Últ. msg

Ittalo25

Teorema de Marlen:

[tex3]PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

Usando o que foi dado:

[tex3]PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

[tex3]PA^2+PA^2+PB^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

[tex3]PA^2 = \frac{PD^2}{2}[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo APD:

AD^2 =...
Ittalo251victoria1: 1 Resp.; 921 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
23 Mar 2016, 23:53

(EUA - 2001) Somatório

Últ. msg por theblackmamba « 31 Dez 2012, 22:42
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Agash » 13 Set 2011, 08:56 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Agash

Sabendo que :
[tex3]\sum_{k=0}^{1998} \frac{k+3}{(k+1)!+(k+2)!+(k+3)!} + \frac{1}{2001!}[/tex3] vale [tex3]k[/tex3].
Então o valor de [tex3]2008.k[/tex3] é igual a :
a)[tex3]2008[/tex3]
b)[tex3]1004[/tex3]
c)[tex3]502[/tex3]
d)[tex3]2009[/tex3]
e)[tex3]251[/tex3]

Desde já, muito obrigado!

Últ. msg

theblackmamba

Olá Agash,

Pegaremos inicialmente a a parte abaixo do somatório:

[tex3]\frac{k+3}{(k+1)!+(k+2)!+(k+3)!}=[/tex3]
[tex3]\frac{k+3}{(k+1)! \cdot [1+(k+2)+(k+3)(k+2)]}=[/tex3]
[tex3]\frac{k+3}{(k+1)!\cdot [(k+3)(k+2+1)]}=[/tex3]...
Agash1theblackmamba1: 1 Resp.; 912 Exibições; Últ. msg por theblackmamba
31 Dez 2012, 22:42

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