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Os inteiros a, b, c e A são tais que [tex3]a^{2}+A=b^{2}[/tex3] e [tex3]c^{2}+A=d^{2}[/tex3]. Sobre o número 2(a + b).(c + d).(ac + bd - A) podemos afirmar que:

a) é um quadrado perfeito
b) é um cubo perfeito
c) é a quarta potência de um natural
d) depende de A
e) depende de a, b, c e d.

Gabarito:Letra a

@giovane,

[tex3]b^2 - a^2 = A \implies (b-a)(b+a) = A\\d^2 - c^2 = A \implies (d-c)(d+c) = A[/tex3]
Sejam [tex3]x = b+a(I)\\
y = d+c(II)[/tex3]
[tex3](b-a) = \frac{A}{x}(III)\\(d-c) = \frac{A}{y}(IV)[/tex3]
[tex3](I)+(III): 2b = x + \frac{A}{x} \implies b = \frac{x^2+A}{2x} \implies b = \frac{x + \frac{A}{x}}{2}, \\
(I)-(III): $2a = x - \frac{A}{x} \implies a = \frac{x^2-A}{2x} \implies\quad a= \frac{x - \frac{A}{x}}{2}\\\
Analogamente:(II)+IV)~ e ~(II)-(IV): \\
\d = \frac{y + \frac{A}{y}}{2}, \quad c = \frac{y - \frac{A}{y}}{2}\\
(ac + bd - A):[/tex3][tex3]ac = \left(\frac{x - \frac{A}{x}}{2}\right)\left(\frac{y - \frac{A}{y}}{2}\right) = \frac{xy - \frac{Ay}{x} - \frac{Ax}{y} + \frac{A^2}{xy}}{4}\\
bd = \left(\frac{x + \frac{A}{x}}{2}\right)\left(\frac{y + \frac{A}{y}}{2}\right) = \frac{xy + \frac{Ay}{x} + \frac{Ax}{y} + \frac{A^2}{xy}}{4}[/tex3]
[tex3]ac + bd = \frac{2xy + \frac{2A^2}{xy}}{4} = \frac{xy}{2} + \frac{A^2}{2xy}[/tex3]
Agora, subtraímos A:[tex3]ac + bd - A = \frac{xy}{2} + \frac{A^2}{2xy} - A \implies ac + bd - A = \frac{x^2y^2 + A^2 - 2xyA}{2xy} = \frac{(xy - A)^2}{2xy}[/tex3]
Substituição na expressão final [tex3]E = 2(a + b)(c + d)(ac + bd - A) \\(a+b) = x, (c+d) = y \\E = \cancel{2 \cdot x \cdot y} \cdot \frac{(xy - A)^2}{\cancel{2xy}} \therefore \boxed{E = (xy - A)^2_{//}}[/tex3]
Portanto é um quadrado perfeito