Ensino Médio ⇒ Quadriláteros convexos circunscritos à elipses Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:12031)]

Eu vi este problema:

Dado um quadrilátero convexo circunscrito à uma elipse tal que um foco da elipse está em uma diagonal do quadrilátero e o outro foco está na outra diagonal (ou seja não podemos pensar na elipse degenerada à circunferência) prove que os produtos dos lados opostos do quadrilátero são iguais.

Tem um teorema interessante, feito por Poncelet que diz que se um polígono está circunscrito à uma cônica ele também circunscreve outra cônica da mesma natureza que a primeira. Nesse caso isso significaria que os vértices do quadrilátero estão em uma elipse. Quem quiser me ajudar eu agradeço.

[Auto Excluído (ID:12031)]

up, que esse ainda tá difícil

[FelipeMartinMOD]

Seja [tex3]ABCD[/tex3] o quadrilátero convexo circunscrito à elipse. Pode-se mostrar que necessariamente o centro da elipse está sobre a reta que une os pontos médios das diagonais [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BD[/tex3].

[FelipeMartinMOD]

finalmente, descobri como desenhar direito essa figura:

elipsefocosdiagonais.png (59.3 KiB) Exibido 844 vezes

[FelipeMartinMOD]

um upgrade no desenho, sabendo que o quadrilátero ABCD é "harmônico" pela expressão oferecida no enunciado (ao menos, os quadriláteros harmônicos satisfazem a expressão. Existe um quadrilátero harmônico com os lados do quadrilátero dado).
Ainda não consigo construir os focos sem ser no olho, apesar de estar mais próximo de fazê-lo.
Um lema a ser lembrado: dada uma reta [tex3]r[/tex3] e um ponto [tex3]P[/tex3] fora de [tex3]r[/tex3], o lugar geométrico dos pontos obtidos ao se refletir [tex3]P[/tex3] em relação aos pontos de [tex3]r[/tex3] é uma reta paralela a [tex3]r[/tex3] que passa pelo reflexo de [tex3]P[/tex3] em relação a [tex3]r[/tex3].

elipse.png (106.96 KiB) Exibido 581 vezes