Ensino Superior ⇒ Provar definição de limites (epsilon e delta) Tópico resolvido

[CloudAura]

Tenho conseguido resolver esse tipo de exercício com funções do primeiro grau mas os exemplos com funções do segundo grau e mais complexas estão me confundindo um pouco (e as explicações ultra-resumidas do James Stewart não ajudam em nada). Alguém poderia me ajudar resolvendo esse exemplo e dado instruções de como resolvo outros do mesmo tipo?
Prove que o limite [tex3]\lim_{x \mapsto 3}(x^2 + x - 4)[/tex3] existe utilizando a definição epsilon e delta de limite.

[LucasPinafiMOD]

Bem, não é tão simples mostrar, pela definição, que um limite existe ou não.
[tex3]\lim_{x \mapsto 3} (x^2+x-4) =\lim_{x \mapsto 3} x^2+ \lim_{x \mapsto 3}x -\lim_{x \mapsto 3}4[/tex3]
Assim, se cada um desses limites existirem, o primeiro existirá!
[tex3]\lim_{x \mapsto 3} x^2= 9[/tex3], devemos mostrar que:
[tex3]0< |x-3|< \delta \Rightarrow |x^2 -9|< \epsilon[/tex3]
[tex3]| x^2-9 | <\epsilon \Rightarrow 9-\epsilon < x^2 <\epsilon +9[/tex3]
[tex3]\sqrt{9-\epsilon} <|x|< \sqrt{9+\epsilon}[/tex3]
Assim, tomando um intervalo [tex3]I=]\sqrt{9-\epsilon}, \sqrt{9+\epsilon}[, 3 \in I[/tex3]
Isso implica que [tex3]3 \in I \Rightarrow |x^2-9| < \epsilon[/tex3], ou seja, a função é contínua em [tex3]x=3[/tex3]. Portanto, segue que [tex3]\lim_{x \mapsto 3}x^2=9[/tex3]
Da mesma forma:
[tex3]\lim_{x \mapsto 3} x=3[/tex3]
[tex3]|x-3|< \delta \Rightarrow |x-3|< \epsilon[/tex3]. Assim, basta tomar [tex3]\delta = \epsilon[/tex3] para que a afirmação seja verdadeira. Portanto, [tex3]\lim_{x \mapsto 3} x=3[/tex3]
[tex3]\lim_{x \mapsto 3} 4=4[/tex3]
[tex3]|x-3| < \delta \Rightarrow |4-4|< \epsilon[/tex3]. Ou seja; [tex3]\lim_{x \mapsto 3} 4=4[/tex3]
Fica provado então que o limite dado existe e vale 8

[Auto Excluído (ID:24303)]

Vamos começar do começo.
O limite pedido é [tex3]8 = 3^2+3-4[/tex3].

Vamos mostrar que ele existe.
Queremos mostrar que [tex3]\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, 0<|x-3|<\delta \implies |x^2+x-4 - 8 | < \epsilon[/tex3]
Vamos analisar a expressão:
[tex3]x^2 + x -12 = x^2 -9 + x-3 = (x-3)(1 + x + 3) = (x-3)(x+4)[/tex3]
(não foi coincidência que x-3 ficou em evidência) então:
[tex3]|x^2+x-4 - 8| < \epsilon \iff |x-3||x+4| < \epsilon[/tex3]
agora, para facilitar nossas vidas e não nos complicarmos com o algebrismo, que seria muito grande, vamos fixar um [tex3]\delta =1[/tex3]. Eu sei que é estranho, mas o que interessa no limite são os [tex3]\delta[/tex3] s pequenos esse teto vai ficar claro. Se [tex3]\delta =1[/tex3] então:
[tex3]|x-3| < \delta \iff 2 < x < 4 \iff 6 < x+4 < 8 \implies |x-3||x+4| < 8|x-3| < \epsilon \iff |x-3|< \frac{\epsilon}8[/tex3]
Então veja que se:
[tex3]\delta = \min (1, \frac \epsilon8)[/tex3]
Teremos o resultado que queremos:
se [tex3]\epsilon \geq 8 \implies \delta =1[/tex3]
para [tex3]\delta =1[/tex3] temos [tex3]2<x<4 \implies |x-3||x+4| < 8|x-3| < 8 < \epsilon [/tex3]
se [tex3]\epsilon < 8[/tex3] então [tex3]\delta = \frac{ \epsilon}8[/tex3]
se [tex3]|x-3| < \frac{\epsilon}8 \implies 2 < 3 - \frac{\epsilon}8<x<3 + \frac{\epsilon}8 < 4 \implies |x+4| < 8 \implies |x+4||x-3| < 8 \cdot \frac{\epsilon}8 < \epsilon[/tex3]
pronto.
Basta tomar [tex3]\delta = \min(1, \frac \epsilon8)[/tex3]
Não é nada intuitivo, mas funciona.