IME / ITA ⇒ (ITA - 2001) Geometria Plana: Polígonos Tópico resolvido

[barbarahass]

De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Antão a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:

a) 63
b) 65
c) 66
d) 70
e) 77

[fabit]

O que tem n lados tem [tex3]\frac{n(n-3)}{2}[/tex3] diagonais. O que tem n+6 lados tem diagonais [tex3]\frac{n(n-3)}{2}+39[/tex3] pelo enunciado e [tex3]\frac{(n+6)(n+6-3)}{2}[/tex3] pela fórmula.

Então [tex3]\frac{n(n-3)}{2}+39=\frac{(n+6)(n+6-3)}{2}[/tex3]

[tex3]n(n-3)+78=(n+6)(n+3)[/tex3]

[tex3]n^2-3n+78=n^2+9n+18[/tex3]

[tex3]78-18=9n+3n[/tex3]

[tex3]60=12n[/tex3]

n=5 (pentágono, que tem 5 diagonais). O outro polígono tem 6 lados e 39 diagonais a mais, logo a soma geral é
5+(5+6)+5+(5+39)=65

Letra B