Ensino Superior ⇒ Eliminação de Gauss Jordan Tópico resolvido

[iceman]

Resolver por eliminação Gauss-Jordan

[tex3]3x_1+2x_2-x_3=-15[/tex3]
[tex3]5x_1+3x_2+2x_3=0[/tex3]
[tex3]3x_1+x_2+3x_3=11[/tex3]
[tex3]-6x_1-4x_2+2x_3=30[/tex3]

Gostaria de uma ajuda nesse exercicio, agradeço.

[candre]

acho que nesse caso seria assim
podemos escrever a equação na forma matricial como
[tex3]\begin{bmatrix}3&2&-1&0\\5&3&2&0\\3&1&3&0\\-6&-4&2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-15\\0\\11\\30\end{bmatrix}[/tex3]
obtendo a Matrix aumentada
[tex3]\left[
\begin{array}{cccc|c}
3&2&-1&0&-15\\
5&3&2&0&0\\
3&1&3&0&11\\
-6&-4&2&0&30
\end{array}\right][/tex3]
usando as operações elementares para reduzir a matriz numa matriz escalonada reduzida
[tex3]L_4\leftarrow L_4+2L_1\\
L_3\leftarrow L_3-L_1\\
L_2\leftarrow L_2-\frac{5}{3}L_1\\
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
5&3&2&0&0\\
3&1&3&0&11\\
-6&-4&2&0&30
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&-\frac13&\frac{11}3&0&25\\
0&-1&4&0&26\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}\\
L_2\leftarrow -3 L_2\\
L_3\leftarrow -L_3\\
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&-\frac13&\frac{11}3&0&25\\
0&-1&4&0&26\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&-11&0&-75\\
0&1&-4&0&-26\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}\\
L_3\leftarrow L_3-L_2\\
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&-11&0&-75\\
0&1&-4&0&-26\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&-11&0&-75\\
0&0&7&0&49\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&-11&0&-75\\
0&0&1&0&7\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}\\
L_2\leftarrow L_2+11L_3\\
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&-11&0&-75\\
0&0&1&0&7\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&0&0&2\\
0&0&1&0&7\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}\\
L_1\leftarrow L_1-2L_2+L_3\\
\begin{bmatrix}
3&2&-1&0&-15\\
0&1&0&0&2\\
0&0&1&0&7\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}
3&0&0&0&-12\\
0&1&0&0&2\\
0&0&1&0&7\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\sim\begin{bmatrix}
1&0&0&0&-4\\
0&1&0&0&2\\
0&0&1&0&7\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}[/tex3]
obtendo
[tex3]\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\2\\7\\0\end{bmatrix}[/tex3]
obtemos como solução
[tex3]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\2\\7\end{bmatrix}[/tex3]