Ensino Fundamental ⇒ Polígonos (PENSI)

[basico]

Dois polígonos regulares são tais que o gênero de um excede o do outro em 3 unidades ,e o número de diagonais de um é o quádruplo do número de diagonais do outro. Determine os ângulos internos desses dois polígonos.

Resposta

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Gabarito:108° e 135°

[csmarceloMOD]

O número de diagonais de um polígono de [tex3]n[/tex3] lados é dado pela fórmula

[tex3]d=\frac{n(n-3)}{2}[/tex3]

Dois polígonos regulares são tais que o gênero de um excede o do outro em 3 unidades...

[tex3]n_2=n_1+3[/tex3]

Logo,

[tex3]d_1=\frac{n_1(n_1-3)}{2}[/tex3]
[tex3]d_2=\frac{n_2(n_2-3)}{2}=\frac{(n_1+3)[(n_1+3)-3]}{2}[/tex3]

[tex3]d_2=4d_1[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{(n_1+3)[(n_1+3)-3]}{2}=4\cdot\frac{n_1(n_1-3)}{2}[/tex3]

Resolvendo a equação acima, você encontrará o valor de [tex3]n_1[/tex3] e, consequentemente, o de [tex3]n_2[/tex3].

Aí é só usar a fórmula da medida do ângulo interno de um polígono regular.

[tex3]a_i=\frac{180^\circ(n-2)}{n}[/tex3]