Ensino Superior ⇒ Retas/segmentos

[CloudAura]

Sejam A, B e C pontos quaisquer, A (diferente de) B. Prove que:

a) X pertence à reta AB se, e somente se, existem a e B tais que CX = a.CA + b.CB e a+b=1
Consegui provar que X pertence a reta da seguinte forma:
Para AB pertencer a reta deve haver um k real tal que:

AX = k.AB
(AC+CX)=k.(AC+CB)
AC + CX = k.AC + k.CB
CX = k.AC - AC + k.CB
CX = AC(1+k) + CB.k
CX = -CA(1+k) + CB.k
CX = CA(-1+k) + CB.k

Daí é só chamarmos -1+k de a e k de b
mas não consegui provar que a + b = 1. Como devo proceder pra encontrar isso?

[TalesO]

Até a quarta linha está correto, a partir dai quando voce coloca o AC em evidencia fica errado pois temos:
[tex3]\vec{CX} = k\vec{AC}-\vec{AC}+k\vec{CB}[/tex3]
[tex3]\vec{CX} = \vec{AC}(k-1)+k\vec{CB}[/tex3]
[tex3]\vec{CX} = \vec{CA}(1-k)+k\vec{CB}[/tex3]

Se: [tex3](1-k) = a[/tex3] e [tex3]k = b[/tex3]

Temos que:
[tex3]\vec{CX} = a\vec{CA}+b\vec{CB}[/tex3]

Sendo que:
[tex3]a+b=(1-k)+k[/tex3]
[tex3]a+b=1[/tex3]