Pré-Vestibular ⇒ (UNI-RIO) Análise Combinatória Tópico resolvido

[raimundo]

Seja n o número de elementos do conjunto A. Sabendo que este conjunto possui 286 subconjuntos com exatamente 3 elementos, a soma dos algarismos do número n é

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

[csmarceloMOD]

Análise combinatória

O raciocínio é o mesmo, qual a dúvida?

[raimundo]

Análise combinatória

O raciocínio é o mesmo, qual a dúvida?

Mesmo assim nao conseguir fazer-la!

[csmarceloMOD]

Mas qual a dúvida? O que você não entendeu? Desenvolva o seu raciocínio, por favor.

[raimundo]

Mas qual a dúvida? O que você não entendeu? Desenvolva o seu raciocínio, por favor.

[tex3]C_3^n =[/tex3] 286, seria isso?Porem nao conseguir desenvolve-la!

[csmarceloMOD]

[tex3]C^n_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{3!(n-3)!}=\frac{(n-2)(n-1)n}{3!}=286[/tex3]

[tex3]\frac{(n-2)(n-1)n}{3!}=286\Rightarrow(n-2)(n-1)n=1716[/tex3]

Desenvolvendo essa equação, chegamos numa equação do terceiro grau. Se foi aqui que você travou há um outro método.

Repare que os fatores que resultam em 1716 são números sucessivos. Assim, podemos decompor 1716 em fatores primos e recombiná-los de forma a chegarmos nos números que precisamos.

[tex3]1716=2^2\cdot3\cdot11\cdot13=(2^2\cdot3)\cdot11\cdot13=12\cdot11\cdot13[/tex3]

Logo,

[tex3]n=13[/tex3]

E, portanto, a soma dos algarismos de [tex3]n[/tex3] é [tex3]1+3=4[/tex3].

[izabelaalves]

Existe alguma forma de fazer essa questão pela lógica? Sem precisar de fórmulas?

[csmarceloMOD]

Sim, através das lógicas a partir das quais se derivaram as fórmulas.

[izabelaalves]

Vc poderia resolver assim pra mim então?
Pois o meu raciocínio foi o seguinte (sei q esta errado mas não consegui interpretar de outra maneira):
Como são 286 conjuntos com 3 elementos cada logo seria só multiplicar para achar o total de elementos.
286 x 3 = 858

[csmarceloMOD]

Na verdade, foi um brincadeira.

Nesse caso, não tem como fugir das fórmulas que, a meu ver, nem é o maior dos problemas. A pior parte é interpretar corretamente o problema.

Não são 286 conjuntos. Existe apenas um conjunto (conjunto [tex3]A[/tex3]), que possui 286 subconjuntos com 3 elementos, e isso, invariavelmente, nos leva à pergunta: "Quantos subconjuntos de 3 elementos conseguimos formar a partir de um conjunto de [tex3]n[/tex3] elementos? Resposta: [tex3]C^n_3[/tex3]".

E como o problema já nos diz que existem 286 desses subconjuntos, basta resolvermos a equação [tex3]C^n_3=286[/tex3] para descobrirmos [tex3]n[/tex3] e, então, encontrarmos a resposta.